Enunciado

Dois pêndulos idênticos, cada um com massa m e compri mento l , estāo ligados por uma mola de rigidez k a uma dis tância d da extremidade fixa, como mostra a Figura 5.27

(a) Derive as equações de movimento das duas massas.(b) Determine as frequências naturais e formas modais d sistema.(c) Determine a resposta à vibração livre do sistema para as condições iniciais θ 1 ( 0 ) = a , θ 2 ( 0 ) = 0 , e θ ˙ 1 ( 0 ) = 0 e θ 2 ( 0 ) = 0 (d) Determine a condição (ou as condições) sob a qual sistema exibe um fenômeno de batimento.

Passo 1

(a) equações de movimento

Suponha: θ1, θ2 são pequenos. Équations de equilíbrio de momento das duas massas sobre P e Q

m l 2 θ ¨ 1 + m g l θ 1 + k d 2 θ 1 - θ 2 = 0 (1)

m l 2 θ ¨ 2 + m g l θ 2 - k d 2 θ 1 - θ 2 = 0 (2)

Passo 2

(b) Freqüências naturais e formas modais:

Diagrama de corpo livre

Suponha: movimentos harmônicos com

θ i ( t ) = Θ i c o s ⁡ ( ω t - ϕ ) ; i = 1,2 (3)

onde Θ 1 and Θ 2 são amplitudes de θ1 e θ2, respectivamente, ω é a frequência natural e ϕ é o ângulo de fase.

Usando a Eq⋅ (3), a Eq 5⋅ (1) e (2) pode ser expressa na forma de matriz como

- ω 2 m l 2 1         0   0         1   Θ 1   Θ 2   + m g l + k d 2         - k d 2   - k d 2         m g l + k d 2   Θ 1   Θ 2   = 0   0   (4)

Equação de frequência

- ω 2 m l 2 + m g l + k d 2   - k d 2   - k d 2   - ω 2 m l 2 + m g l + k d 2   = 0

Ou ω 4 - ω 2 2 g l + 2 k d 2 m l 2 + g 2 l 2 + 2 g k d 2 m l 3 = 0 (5)

Solução da Eq(5) dá

ω 1 2 = g l , ω 2 2 = g l + 2 k d 2 m l 2 (6)

S u b s t i t u i n d o   p o r   ω 1   2 e ω 2 2 no E 2 ⋅ ( 4 ) , obtemos

Θ 2 Θ 1 ( 1 ) = 1   o r   Θ 1   Θ 2   ( 1 ) = 1   1   Θ 1 ( 1 )

E Θ 2 Θ 1 ( 2 ) = - 1   o r   Θ 1   Θ 2   ( 2 ) = 1   - 1   Θ 1 ( 2 )

Assim, o movimento das massas nos dois modos é dado por

θ → ( 1 ) ( t ) = θ 1 ( 1 ) ( t )   θ 2 ( 1 ) ( t )   = Θ 1 ( 1 ) 1   1   c o s ⁡ ω 1 t + ϕ 1 (7)

θ → ( 2 ) ( t ) = θ 1 ( 2 ) ( t )   θ 2 ( 2 ) ( t )   = Θ 1 ( 2 ) 1   - 1   c o s ⁡ ω 2 t + ϕ 2 (8)

Passo 3

(c) resposta da livre vibração

Usando a superposição linear de modos naturais, a resposta de vibração livre do sistema é dada por

θ → ( t ) = c 1 θ → ( 1 ) ( t ) + c 2 θ → ( 2 ) ( t ) (9)

Ao escolher c 1 = c 2 = 1 sem perda de generalidade, eqs (7) para (9) segue para

θ 1 ( t ) = Θ 1 1 c o s ⁡ ω 1 t + ϕ 1 + Θ 1 ( 2 ) c o s ⁡ ω 2 t + ϕ 2 (10)

θ 2 ( t ) = Θ 1 ( 1 ) c o s ⁡ ω 1 t + ϕ 1 - Θ 1 ( 2 ) c o s ⁡ ω 2 t + ϕ 2 (11)

Em que Θ 1 ( 1 ) , ϕ 1 , Θ 1 ( 2 )   a n d   ϕ 2 são constantes a serem determinadas a partir das condições iniciais. Quando θ 1 ( 0 ) = a , θ 2 ( 0 ) = 0 , θ ˙ 1 ( 0 ) = 0   e   θ ˙ 2 ( 0 ) = 0 ,   E q s ⋅ ( 10 )   e   ( 11 )   s e   t o r n a m

a = Θ 1 ( 1 ) c o s ⁡ ϕ 1 + Θ 1 ( 2 ) c o s ⁡ ϕ 2

0 = Θ 1 ( 1 ) c o s ⁡ ϕ 1 - Θ 1 ( 2 ) c o s ⁡ ϕ 2

0 = - ω 1 Θ 1 ( 1 ) s i n ⁡ ϕ 1 - ω 2 Θ 1 ( 2 ) s i n ⁡ ϕ 2

0 = - ω 1 Θ 1 ( 1 ) s i n ⁡ ϕ 1 + ω 2 Θ 1 ( 2 ) s i n ⁡ ϕ 2 (12)

Eqs. (12) podem ser resolvidos para θ 1 ( 1 ) , ϕ 1 , Θ 1 ( 2 ) e ϕ 2 para obter

θ 1 ( t ) = a c o s ⁡ ω 2 - ω 1 2 t ⋅ c o s ⁡ ω 2 + ω 1 2 t   θ 2 ( t ) = a s i n ⁡ ω 2 - ω 1 2 t ⋅ s i n ⁡ ω 2 + ω 1 2 t   (13)

Passo 4

(d) condições para bater

2 k d 2 m l 2 ≪ g l   o u   k ≪ m g l 2 d 2 (14)

os dois componentes de frequência nas Eqs. (13), a saber, ω 2 - ω 1 2   e   ω 2 + ω 1 2 , podem ser aproximadas como

Ω 1 = ω 2 - ω 1 2 ≃ k 2 m d 2 g l 3 (15)

E Ω 2 = ω 2 + ω 1 2 ≃ g l + k 2 m d 2 g l 3 (16)

Isso implica que os movimentos dos pêndulos são dados por

θ 1 ( t ) ≃ a c o s ⁡ Ω 1 t ⋅ c o s ⁡ Ω 2 t   θ 2 ( t ) ≃ a s i n ⁡ Ω , t ⋅ s i n ⁡ Ω 2 t   } (17)

Este movimento, E8 s⋅ (17), denota o fenômeno de espancamento.

Resposta

(a) m l 2 θ ¨ 1 + m g l θ 1 + k d 2 θ 1 - θ 2 = 0

m l 2 θ ¨ 2 + m g l θ 2 - k d 2 θ 1 - θ 2 = 0

(b) θ → ( 1 ) ( t ) = θ 1 ( 1 ) ( t )   θ 2 ( 1 ) ( t )   = Θ 1 ( 1 ) 1   1   c o s ⁡ ω 1 t + ϕ 1

θ → ( 2 ) ( t ) = θ 1 ( 2 ) ( t )   θ 2 ( 2 ) ( t )   = Θ 1 ( 2 ) 1   - 1   c o s ⁡ ω 2 t + ϕ 2

(c) θ 1 ( t ) = a c o s ⁡ ω 2 - ω 1 2 t ⋅ c o s ⁡ ω 2 + ω 1 2 t   θ 2 ( t ) = a s i n ⁡ ω 2 - ω 1 2 t ⋅ s i n ⁡ ω 2 + ω 1 2 t  

(d)   θ 1 ( t ) ≃ a c o s ⁡ Ω 1 t ⋅ c o s ⁡ Ω 2 t   θ 2 ( t ) ≃ a s i n ⁡ Ω , t ⋅ s i n ⁡ Ω 2 t   }

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