Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Rao - Vibrações mecânicas- Ed: 4º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 27
Dois pêndulos idênticos, cada um com massa e compri mento , estāo ligados por uma mola de rigidez a uma dis tância da extremidade fixa, como mostra a Figura
(a) Derive as equações de movimento das duas massas.(b) Determine as frequências naturais e formas modais d sistema.(c) Determine a resposta à vibração livre do sistema para as condições iniciais , e e (d) Determine a condição (ou as condições) sob a qual sistema exibe um fenômeno de batimento.
Passo 1
(a) equações de movimento
Suponha: θ1, θ2 são pequenos. Équations de equilíbrio de momento das duas massas sobre P e Q
(1)
(2)
Passo 2
(b) Freqüências naturais e formas modais:
Diagrama de corpo livre
Suponha: movimentos harmônicos com
(3)
onde and são amplitudes de θ1 e θ2, respectivamente, ω é a frequência natural e é o ângulo de fase.
Usando a Eq⋅ (3), a Eq 5⋅ (1) e (2) pode ser expressa na forma de matriz como
(4)
Equação de frequência
Ou (5)
Solução da Eq(5) dá
(6)
e no , obtemos
E
Assim, o movimento das massas nos dois modos é dado por
(7)
(8)
Passo 3
(c) resposta da livre vibração
Usando a superposição linear de modos naturais, a resposta de vibração livre do sistema é dada por
(9)
Ao escolher sem perda de generalidade, eqs (7) para (9) segue para
(10)
(11)
Em que são constantes a serem determinadas a partir das condições iniciais. Quando ,
(12)
Eqs. (12) podem ser resolvidos para e para obter
(13)
Passo 4
(d) condições para bater
(14)
os dois componentes de frequência nas Eqs. (13), a saber, , podem ser aproximadas como
(15)
E (16)
Isso implica que os movimentos dos pêndulos são dados por
(17)
Este movimento, E8 s⋅ (17), denota o fenômeno de espancamento.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)