Enunciado

53. O cabo suporta a caçamba e seu conteúdo, que tem massa total de 300   k g . Determine as forças desenvolvidas nas escoras A D e A E e a força na parte A B do cabo para a condição de equilíbrio. A força em cada escora atua ao longo de seu eixo.

Passo 1

Para determinar o que é pedido no enunciado, vamos considerar que o sistema está em equilíbrio, logo:

∑ F → = 0

Mas para abrirmos essa equação temos que escrever as forças na forma vetorial. Para transforma a forças, basta multiplicá-las pelo vetor unitário que tem a mesma direção de cada força, e podemos obtê-los através da figura.

Mas se reparar na figura, não precisaremos usar esse método com a força W (força peso da caçamba), pois essa força só aponta para baixo, logo:

W → = { 0 i + 0 j - 300 ( 9,8 ) k }

{ 0 i + 0 j - 2940 k }

Passo 2

Agora vamos achar os vetores unitários para cada força, achamos através da seguinte relação:

u = u → u →

Vamos lá então:

u A B = A B → A B →

= 0 i - 3 j + 1,25 k 0 + 9 + 1,5625

= 0 i - 3 j + 1,25 k 1 0,5625

= 0 i - 0 , 923 j + 0 , 384 k

u D A = D A → D A →

= - 2 i + 3 j + 6 k 4 + 9 + 3 6

= - 2 i + 3 j + 6 k 49

= - 0 , 285 i + 0 , 428 j + 0 , 857 k

u E A = E A → E A →

= 2 i + 3 j + 6 k 4 + 9 + 36

= 2 i + 3 j + 6 k 49

= 0,285 i + 0,428 j + 0,857 k

Pronto, temos o vetor unitário que precisamos.

Então nossas forças F A B ,   F A D e F A E na forma vetorial são dadas por:

F A B → = F A B { 0 i - 0,923 j + 0,384 k }

F D A → = F D A { - 0,285 i + 0,428 j + 0,857 k }

F E A → = F E A { 0,285 i + 0,428 j + 0,857 k }

Passo 3

Vamos lá então, vamos expandir essa equação do passo 1 :

∑ F → = 0

0 i + 0 j - 2940 k + 0 i - 0,923 F A B j + 0,384 F A B k +

+ - 0,285 F D A i + 0,428 F D A j + 0,857 F D A k + 0,285 F E A i + 0,428 F E A j + 0,857 F E A k = 0

⇒ - 0,285 F D A + 0,285 F E A i + - 0,923 F A B + 0,428 F D A + 0,428 F E A j +

+ - 2940 + 0,384 F A B + 0,857 F D A + 0,857 F E A k = 0

Então temos que:

- 0,285 F D A + 0,285 F E A = 0

- 0,923 F A B + 0,428 F D A + 0,428 F E A = 0

- 2940 + 0,384 F A B + 0,857 F D A + 0,857 F E A = 0

Passo 4

Agora vamos analisar o que encontramos no passo anterior, então temos o seguinte:

- 0,285 F D A + 0,285 F E A = 0

- 0,923 F A B + 0,428 F D A + 0,428 F E A = 0

- 2940 + 0,384 F A B + 0,857 F D A + 0,857 F E A = 0

Convenhamos que é um sistema bem chato de se resolver, mas não tem outro jeito.

Vamos fazer o seguinte, vamos isolar F D A na primeira equação, substituir na segunda, tendo feito isso vamos isolar F E A na segunda equação e substituir o que encontramos na terceira equação, para aí sim conseguirmos encontrar F A B . Vamos então.

F D A = F E A

- 0,923 F A B + 0,428 F E A + 0,428 F E A = 0

⇒ F E A = 1,078 F A B

Substituindo na terceira equação, temos:

- 2940 + 0,384 F A B + 0,857 F D A + 0,857 F E A = 0

⇒ - 2940 + 0,384 F A B + 0,857 ( 1,078 F A B ) + 0,857 ( 1,078 F A B ) = 0

⇒ 0,384 F A B + 0,923 F A B + 0,923 F A B = 2940

⇒ 2,23 F A B = 2940

⇒ F A B = 1318,38   N

Passo 5

Agora que temos F A B , podemos achar F D A e F E A através das seguintes equações:

F E A = 1,078 F A B

F D A = F E A

Então temos:

F E A = 1,078 1318,38

= 1421,21   N

E assim:

F D A = F E A

⇒ F D A = 1421,21   N

Resposta

F A B = 1318,38   N

F D A = 1421,21   N

F E A = 1 421,21   N

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