Enunciado

51. Os cabos A B e A C suportam tração máxima de 500   N e o poste, compressão máxima de 300   N . Determine o peso máximo da luminária sustentada na posição mostrada na figura. A força no poste atua ao longo do eixo dele.

Passo 1

Para resolver esse problema temos que prestar atenção nas condições impostas pelo problema, que é a tração máxima suportada pelas cordas e a compressão máxima suportada do poste. Para esse problema, vamos adotar que a compressão do poste é máxima e deixar tração nas cordas livre.

Para determinar o que é pedido no enunciado, vamos considerar que o sistema está em equilíbrio, logo:

∑ F → = 0

Mas para abrirmos essa equação temos que escrever as forças na forma vetorial. Para transforma a forças, basta multiplicá-las pelo vetor unitário que tem a mesma direção de cada força, e podemos obtê-los através da figura.

A força peso ( W ) não irá precisar desse procedimento para ser escrita na forma vetorial, já que ela só aponta para baixo, então:

W → = { 0 i + 0 j - W k }

Passo 2

Agora vamos achar os vetores unitários para cada força, achamos através da seguinte relação:

u = u → u →

Vamos lá então:

u O A = O A → O A →

= 2 i - 1,5 j + 6 k 4 + 2,25 + 36

= 2 i - 1,5 j + 6 k 42 , 25

= 0 , 307 i - 0 , 230 j + 0 , 923 k

u A C = A C → A C →

= - 2 i + 3 j - 6 k 4 + 9 + 36

= - 2 i + 3 j - 6 k 49

= - 0 , 285 i + 0 , 428 j - 0 , 857 k

u A B = A B → A B →

= - 6 i + 3 j - 6 k 36 + 9 + 36

= - 6 i + 3 j - 6 k 81

= - 0 , 667 i + 0 , 333 j - 0 , 667 k

Pronto, temos o vetor unitário que precisamos.

Então nossas forças F A O ,   F A B e F A C na forma vetorial são dadas por:

F A O → = F A O { 0,307 i - 0,230 j + 0,923 k }

Mas como falamos no passo 1 , F A O = 300   N , então:

F A O → = { 92,1 i - 69 j + 276,9 k }

F A B → = F A B { - 0,667 i + 0,333 j - 0,667 k }

F A C → = F A C { - 0,285 i + 0,428 j - 0,857 k }

Passo 3

Vamos lá então, vamos expandir essa equação do passo 1 :

∑ F → = 0

0 i + 0 j - W k + 92,1 i - 69 j + 276,9 k + - 0,667 F A B i + 0,333 F A B j - 0,667 F A B k +

+ - 0,285 F A C i + 0,428 F A C j - 0,857 F A C k = 0

⇒ 92,1 - 0,667 F A B - 0,285 F A C i + - 69 + 0,333 F A B + 0,428 F A C j +

+ - W + 276,9 - 0,667 F A B - 0,857 F A C k = 0

Então temos que:

92,1 - 0,667 F A B - 0,285 F A C = 0

- 69 + 0,333 F A B + 0,428 F A C = 0

- W + 276,9 - 0,667 F A B - 0,857 F A C = 0

Passo 4

Agora vamos analisar o que encontramos no passo anterior, então temos o seguinte:

92,1 - 0,667 F A B - 0,285 F A C = 0

- 69 + 0,333 F A B + 0,428 F A C = 0

- W + 276,9 - 0,667 F A B - 0,857 F A C = 0

Para resolver esse sistema, vamos fazer o seguinte, vamos resolver a primeira e a segunda equação separadamente para acharmos F A B e F A C , tendo isso vamos usá-las para achar W com a terceira equação, vamos lá então.

Então primeiramente temos:

92,1 - 0,667 F A B - 0,285 F A C = 0

- 69 + 0,333 F A B + 0,428 F A C = 0

Então vamos isolar F A B na primeira equação e substituir na segunda para assim acharmos F A C .

F A B = - 0,427 F A C + 138,08

⇒ - 69 + 0,333 - 0,427 F A C + 138,08 + 0,428 F A C = 0

⇒ - 69 - 0,142 F A C + 45,98 + 0,428 F A C = 0

⇒ 0 , 286 F A C = 23,02

⇒ F A C = 80,48   N

Então temos que F A B é dado por:

F A B = - 0,427 ( 80,48   ) + 138,08

= 103,71   N

Passo 5

Agora vamos substituir o que encontramos no passo 4 , na seguinte equação:

- W + 276,9 - 0,667 F A B - 0,857 F A C = 0

⇒ - W + 276,9 - 0,667 ( 103,71 ) - 0,857 ( 80,48 ) = 0

⇒ W = 276,9 - 69,17 - 68,97

Então temos que:

W = 138,76   N

Resposta

W = 138,76   N

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