Enunciado

52. Determine a força de tração necessária nos cabos A B ,   A C e A D para manter a caixa de 60   l b em equilíbrio.

Passo 1

Para determinar o que é pedido no enunciado, vamos considerar que o sistema está em equilíbrio, logo:

∑ F → = 0

Mas para abrirmos essa equação temos que escrever as forças na forma vetorial. Para transforma a forças, basta multiplicá-las pelo vetor unitário que tem a mesma direção de cada força, e podemos obtê-los através da figura.

Mas se reparar na figura, não precisaremos usar esse método com a força F A B e W (força peso da caixa), pois essas forças têm suas direções iguais às de um dos eixos coordenados, logo:

F A B → = { F A B i + 0 j + 0 k }

W → = { 0 i + 0 j - 6 0 k }

Passo 2

Agora vamos achar os vetores unitários para cada força, achamos através da seguinte relação:

u = u → u →

Vamos lá então:

u A D = A D → A D →

= - 12 i - 4 j + 6 k 144 + 16 + 36

= - 12 i - 4 j + 6 k 196

= - 0 , 85 7 i - 0 , 285 j + 0 , 428 k

u A C = A C → A C →

= - 1 2 i + 9 j + 8 k 144 + 81 + 64

= - 12 i + 9 j + 8 k 289

= - 0 , 705 i + 0 , 529 j + 0 , 4 7 0 k

Pronto, temos o vetor unitário que precisamos.

Então nossas forças F A C e F A D na forma vetorial são dadas por:

F A C → = F A C { - 0,705 i + 0,529 j + 0,470 k }

F A D → = F A D { - 0,857 i - 0,285 j + 0,428 k }

Passo 3

Vamos lá então, vamos expandir essa equação do passo 1 :

∑ F → = 0

0 i + 0 j - 60 k + F A B i + 0 j + 0 k + - 0,705 F A C i + 0,529 F A C j + 0,470 F A C k +

+ - 0,857 F A D i - 0,285 F A D j + 0,428 F A D k = 0

⇒ F A B - 0,705 F A C - 0,857 F A D i + 0,529 F A C - 0,285 F A D j +

+ - 6 0 + 0,470 F A C + 0,428 F A D k = 0

Então temos que:

F A B - 0,705 F A C - 0,857 F A D = 0

0,529 F A C - 0,285 F A D = 0

- 60 + 0,470 F A C + 0,428 F A D = 0

Passo 4

Agora vamos analisar o que encontramos no passo anterior, então temos o seguinte:

F A B - 0,705 F A C - 0,857 F A D = 0

0,529 F A C - 0,285 F A D = 0

- 60 + 0,470 F A C + 0,428 F A D = 0

Para resolver esse sistema, vamos fazer o seguinte, vamos resolver a segunda e a terceira equação separadamente para acharmos F A C e F A D , tendo isso vamos usá-las para achar F A B com a primeira equação, vamos lá então.

Então primeiramente temos:

0,529 F A C - 0,285 F A D = 0

- 60 + 0,470 F A C + 0,428 F A D = 0

Vamos isolar F A D na primeira e substituir na segunda equação, achando assim F A C .

F A D = 1,856 F A C

⇒ - 60 + 0,470 F A C + 0,428 ( 1,856 F A C ) = 0

⇒ - 60 + 0,470 F A C + 0,794 F A C = 0

⇒ 1,264 F A C = 60

⇒ F A C = 47,46   l b

Logo F A D é dado por:

F A D = 1,856 47,46

= 8 8,08   l b

Passo 5

Agora vamos substituir o que encontramos no passo 4 , na seguinte equação:

F A B - 0,705 F A C - 0,857 F A D = 0

⇒ F A B - 0,705 ( 47,46 ) - 0,857 ( 88,08 ) = 0

⇒ F A B = 0,705 47,46 + 0,857 ( 88,08 )

⇒ F A B = 3 3,45 + 75,48

Então temos que:

F A B = 108,93   l b

Resposta

F A B = 108,93   l b

F A C = 47,46   l b

F A D = 88,08   l b

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