49. A caixa de 2500   N de ser levantada com uma velocidade constante do porão de um navio usando-se o arranjo de cabos mostrado na figura. Determine a força de cada um dos três cabos para a condição de equilíbrio.

Passo 1

Para determinar o que é pedido no enunciado, vamos considerar que o sistema está em equilíbrio, já que ele está se movendo com velocidade constante, logo:

∑ F → = 0

Mas para abrirmos essa equação temos que escrever as forças na forma vetorial. Para transforma a forças, basta multiplicá-las pelo vetor unitário que tem a mesma direção de cada força, e podemos obtê-los através da figura.

Mas se reparar na figura, não precisaremos usar esse método com a força F , pois essa força tem sua direção igual à de um dos eixos coordenados, logo:

F → = { 0 i + 0 j + 2500 k }

Passo 2

Agora vamos achar os vetores unitários para cada força, achamos através da seguinte relação:

u = u → u →

Vamos lá então:

u A B = A B → A B →

= 1 i - 3 j - 3 k 1 + 9 + 9

= 1 i - 3 j - 3 k 19

= 0,229 i - 0,688 j - 0,688 k

u A C = A C → A C →

= 1 i + 1,5 j - 3 k 1 + 2,25 + 9

= 1 i + 1,5 j - 3 k 12,25

= 0,285 i + 0,428 j - 0,857 k

u A D = A D → A D →

= - 0,75 i + 1 j - 3 k 0,562 + 1 + 9

= - 0,75 i + 1 j - 3 k 10,562

= - 0,230 i + 0,307 j - 0,923 k

Pronto, temos o vetor unitário que precisamos.

Então nossas forças F A B , F A C e F A D na forma vetorial são dadas por:

F A B → = F A B { 0,229 i - 0,688 j - 0,688 k }

F A C → = F A C { 0,285 i + 0,428 j - 0,857 k }

F A D → = F A D { - 0,230 i + 0,307 j - 0,923 k }

Passo 3

Vamos lá então, vamos expandir essa equação do passo 1 :

∑ F → = 0

0 i + 0 j + 2500 k + 0,229 F A B i - 0,688 F A B j - 0,688 F A B k +

+ 0,285 F A C i + 0,428 F A C j - 0,857 F A C k + ( - 0,230 F A D i + 0,307 F A D j - 0,923 F A D k ) = 0

⇒ 0,229 F A B + 0,285 F A C - 0,230 F A D i + - 0,688 F A B + 0,428 F A C + 0,307 F A D j +

+ 2500 - 0,688 F A B - 0,857 F A C - 0,923 F A D k = 0

Então temos que:

0,229 F A B + 0,285 F A C - 0,230 F A D = 0

- 0,688 F A B + 0,428 F A C + 0,307 F A D = 0

2500 - 0,688 F A B - 0,857 F A C - 0,923 F A D = 0

Passo 4

Agora vamos analisar o que encontramos no passo anterior, então temos o seguinte:

0,229 F A B + 0,285 F A C - 0,230 F A D = 0

- 0,688 F A B + 0,428 F A C + 0,307 F A D = 0

2500 - 0,688 F A B - 0,857 F A C - 0,923 F A D = 0

Convenhamos que é um sistema bem chato de se resolver, mas não tem outro jeito.

Vamos fazer o seguinte, vamos isolar F A C na primeira equação, substituir na segunda, tendo feito isso vamos isolar F A B na segunda equação e substituir o que encontramos na terceira equação, para aí sim conseguirmos encontrar F A D . Vamos então.

F A C = 0,807 F A D - 0,803 F A B

F A B = 0,622 F A C + 0,446 F A D

⇒ F A B = 0,622 0,807 F A D - 0,803 F A B + 0,446 F A D

⇒ F A B + 0,499 F A B = 0,501 F A D + 0,446 F A D

⇒ 1,499 F A B = 0,947 F A D

⇒ F A B = 0,631 F A D

Agora vamos substituir isso tuno na terceira equação lá de cima.

2500 - 0,688 F A B - 0,857 F A C - 0,923 F A D = 0

⇒ 2500 - 0,688 0,631 F A D - 0,857 0,807 F A D - 0,803 0,631 F A D - 0,923 F A D = 0

⇒ 2500 - 0,434 F A D - 0,691 F A D + 0,434 F A D - 0,923 F A D = 0

⇒ 2500 - 1,614 F A D = 0

F A D = 1548,94   N

Passo 5

Agora que temos F A D , podemos achar F A B e F A C através das seguintes equações:

F A B = 0,631 F A D

F A C = 0,807 F A D - 0,803 F A B

Então temos:

F A B = 0,631 1548,94

= 977,38   N

E assim:

F A C = 0,807 F A D - 0,803 F A B

⇒ F A C = 0,807 1548,94 - 0,803 977,38

= 1249,99 - 784,83

= 465,16   N

Resposta

F A B = 977,38   N

F A C = 465,16   N

F A D = 1548,94   N

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