Enunciado

Calcule as tres primeiras frequências naturais e as formas modais correspondentes das vibrações transversais de uma viga uniforme de seção retangular transversal ( 100   m m ×   300   m m ) com l   =   2   m , E   =   20,5 ⋅ 10 10   N / m 2 e p   =   7,83 ⋅ 10 3   k g / m 3 para os seguintes casos:

(a) quando ambas as extremidades estão simplesmente apoiadas;

(b) quando ambas as extremidades sao engastadas (presas);

(c) quando uma extremidade é fixa ea outra extremidade é livre;

Passo 1

E aí, galerinha!

Bom! Bora lá pro que interessa!

Antes de mais nada, vamo pra uma introduçãozinha!

Temos os seguintes dados...

l = 2   m

E   =   20,5 ⋅ 10 10   N / m 2

p   =   7,83 ⋅ 10 3   k g / m 3

E uma vez que nossa seção é retangular ( 100   m m × 300   m m ) , podemos também calcular sua área...

A = 0,1 ⋅ 0,3 = 0,03   m 2

E o seu momento de inércia...

I = 1 12 b h 3 = 1 12 ⋅ 0,1 ⋅ 0,3 3

I = 2,25 ⋅ 10 - 4   m 4

Passo 2

Agora, da figura 8.15 e da nossa bibliografia, sabemos que a fórmula da frequência natural é dada por...

ω n = β n l 2 E I ρ A l 4

Calculando...

E I ρ A l 4 = 20,5 ⋅ 10 10 ⋅ 2,25 ⋅ 10 - 4 7,83 ⋅ 10 3 ⋅ 0,03 ⋅ 2 4 = 110,7814

Obtemos que...

ω n = β n l 2 ⋅ 110,7814

Pronto! Essa é a fórmula que vai guiar todo o nosso exercício!

Passo 3

a) Para esse primeiro caso, onde ambas as extremidades estão simplesmente apoiadas temos que para as três primeiras frequência naturais...

β 1 l = π

β 2 l = 2 π

β 3 l = 3 π

E então;

ω 1 = π 2 ⋅ 110,7814 = 1093,37   r a d / s

ω 2 = 2 π 2 ⋅ 110,7814 = 4373,495   r a d / s

ω 3 = 3 π 2 ⋅ 110,7814 = 9840,36   r a d / s

b) Para esse segundo caso, onde ambas as extremidades estão engastadas temos que para as três primeiras frequência naturais...

β 1 l = 4,7308

β 2 l = 7,8532

β 3 l = 10,9956

E então;

ω 1 = 4,7308 2 ⋅ 110,7814 = 2479,3826   r a d / s

ω 2 = 7,8532 2 ⋅ 110,7814 = 6832,2023   r a d / s

ω 3 = 10,9956 2 ⋅ 110,7814 = 13393,8474   r a d / s

c) Por fim, para o terceiro caso temos que...

β 1 l = 1,8751

β 2 l = 4,6940

β 3 l = 7,854757

E então;

ω 1 = 1,8751 2 ⋅ 110,7814 = 389,5091   r a d / s

ω 2 = 4,6940 2 ⋅ 110,7814 = 2441,0117   r a d / s

ω 3 = 7,854757 2 ⋅ 110,7814 = 6834,9030   r a d / s

Resposta

a)

ω 1 = 1093,37   r a d / s

ω 2 = 4373,495   r a d / s

ω 3 = 9840,36   r a d / s

b)

ω 1 = 2479,3826   r a d / s

ω 2 = 6832,2023   r a d / s

ω 3 = 13393,8474   r a d / s

c)

ω 1 = 389,5091   r a d / s

ω 2 = 2441,0117   r a d / s

ω 3 = 6834,9030   r a d / s

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