Enunciado

Deduza a equação de frequência para a vibracão longitudinal de uma barra escalonada que tem duas áreas de sessão transversal A 1 e A 2 ao longo dos comprimentos l 1 e l 2 , respectivamente. Considere condições de extremidade fixa-livre.

Passo 1

E aí, galerinha!

Bom! Bora lá pro que interessa!

Vamos começar fazendo um esboço do problema pra entender melhor ele...

Bem! Como podemos ver aí, estamos trabalhando com duas coordenas, em x 1 e x 2 .

E as equações de movimento... Para a barra, sabemos que são dadas por...

u 1 x 1 , t = A 1 ⏟ ~ cos ⁡ ω x 1 c 1 + B 1 ⏟ ~ sen ⁡ ω x 1 c 1 C cos ⁡ ω t + D sen ⁡ ω t

u 2 x 2 , t = A 2 ⏟ ~ cos ⁡ ω x 1 c 1 + B 2 ⏟ ~ sen ⁡ ω x 2 c 2 C cos ⁡ ω t + D sen ⁡ ω t

Passo 2

Sabemos que para as condições de contorno, em x = 0 , temos que...

u 1 0 , t = 0 ⇒ A 1 = 0

E como a barra é escalona, temos que a condição de contorno no finalzinho da primeira barra vai ser igual à condição de contorno do início da segunda barra. Logo;

u 1 l 1 , t = u 2 ( 0 , t )

B 1 ⏟ ~ sen ⁡ ω l 1 c 1 = A 2 ⏟ ~

E então, ficamos com:

A 1 E 1 ∂ u 1 ∂ x 1 l 1 , t = A 2 E 2 ∂ u 2 ∂ x 1 0 , t

A 1 E 1 B 1 ⏟ ~ ω c 1 cos ⁡ ω l 1 c 1 = B 2 ⏟ ~ A 2 E 2 ω c 2

Isolando B 2 ⏟ ~ :

B 2 ⏟ ~ = A 1 E 1 c 2 A 2 E 2 c 1 cos ⁡ ω l 1 c 1 ⋅ B 1 ⏟ ~

E substituindo em u 2 ( x 2 , t ) :

u 2 x 2 , t = B 1 ⏟ ~ sen ⁡ ω l 1 c 1 cos ⁡ ω x 2 c 2 + A 1 E 1 c 2 A 2 E 2 c 1 cos ⁡ ω l 1 c 1 sen ⁡ ω x 2 c 2 C cos ⁡ ω t + D sen ⁡ ω t

Como:

∂ u 2 ∂ x 2 l 2 , t = 0

Então, ficamos com...

B 1 ⏟ ~ ω c 2 - sen ⁡ ω l 1 c 1 ⋅ sen ⁡ ω l 2 c 2 + A 1 E 1 c 2 A 2 E 2 c 1 cos ⁡ ω l 1 c 1 cos ⁡ ω l 2 c 2 = 0

- sen ⁡ ω l 1 c 1 ⋅ sen ⁡ ω l 2 c 2 + A 1 E 1 c 2 A 2 E 2 c 1 cos ⁡ ω l 1 c 1 cos ⁡ ω l 2 c 2 = 0

sen ⁡ ω l 1 c 1 sen ⁡ ω l 2 c 2 = A 1 E 1 c 2 A 2 E 2 c 1 cos ⁡ ω l 1 c 1 cos ⁡ ω l 2 c 2

sen ⁡ ω l 1 c 1 sen ⁡ ω l 2 c 2 cos ⁡ ω l 1 c 1 cos ⁡ ω l 2 c 2 = A 1 E 1 c 2 A 2 E 2 c 1

Uma vez que...

tan ⁡ θ = sin ⁡ θ cos ⁡ θ

Dessa forma, a equação de frequência vai ser dada por...

tan ⁡ ω l 1 c 1 ⋅ tan ⁡ ω l 2 c 2 = A 1 E 1 c 2 A 2 E 2 c 1

Resposta

d W d x l = - k W ( l )

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