Enunciado

58. O candelabro de 80   l b é suportado por três arames, como mostrado na figura. Determine a força em cada arame para a condição de equilíbrio.

Passo 1

Vamos lá, para resolver esse problema, temos que considerar o sistema em equilíbrio, logo:

∑ F x = 0

∑ F y = 0

∑ F z = 0

Então para isso teremos que decompor as forças que cada arame realiza. Se observar a figura, o arame A C só tem componentes em x e z , o arame A D só tem componentes em y e z e o arame A B tem componentes nas três direções.

E como acharemos essas componentes? Vejamos que podemos formar triângulos retângulos imaginários (nesse caso são todos iguais) com os arames e a figura fornece o valor dos catetos então só faltaria achar a hipotenusa, que fica fácil usando Pitágoras, então:

h = 2,4 2 + 1 2

= 6,76 = 2,6

Tendo isso, podemos achar as componentes das forças por proporcionalidade dos lados desse triângulo, a componente horizontal vale 1 2,6 da força original e a componente vertical vale 2,4 2,6 da força original.

Sabendo disso podemos abrir as equações de equilíbrio.

Passo 2

Vamos abrir as equações então.

∑ F x = 0

1 2,6 F A C - 1 2,6 co s ⁡ 45 ° F A B = 0

⇒ 0,384 F A C - 0,271 F A B = 0

∑ F y = 0

- 1 2,6 F A D + 1 2,6 sin ⁡ 45 ° F A B = 0

⇒ - 0,384 F A D + 0,271 F A B = 0

∑ F z = 0

2,4 2,6 F A C + 2,4 2,6 F A D + 2,4 2,6 F A B - 80 = 0

⇒ 0,923 F A C + 0,923 F A D + 0,923 F A B = 80

Passo 3

Agora vamos analisar o que encontramos no passo anterior, então temos o seguinte:

0,384 F A C - 0,271 F A B = 0

- 0,384 F A D + 0,271 F A B = 0

0,923 F A C + 0,923 F A D + 0,923 F A B = 80

Vamos fazer o seguinte, vamos isolar F A B na primeira equação, substituir na segunda, tendo feito isso vamos isolar F A D na segunda equação e substituir o que encontramos na terceira equação, para aí sim conseguirmos encontrar F A C . Vamos então.

F A B = 0,384 0,271 F A C

⇒ - 0,384 F A D + 0,271 0,384 0,271 F A C = 0

⇒ F A D = F A C

Sabendo disso vamos usar esses resultados na terceira equação, então:

0,923 F A C + 0,923 F A D + 0,923 F A B = 80

⇒ 0,923 F A C + 0,923 F A C + 0,923 0,384 0,271 F A C = 80

⇒ 0,923 F A C + 0,923 F A C + 1,307 F A C = 80

⇒ 3,153 F A C = 80

⇒ F A C = 25,37   l b

Passo 4

Sabendo que F A C = 25,37 , temos como achar F A D e F A B , através das seguintes equações:

F A D = F A C

F A B = 0,384 0,271 F A C

Então:

F A D = 25,37   l b

F A B = 0,384 0,271 25,37

= 35,94   l b

Resposta

F A B = 35,94   l b

F A C = 25,37   l b

F A D = 25,37   l b

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