Enunciado

Para a cantoneira de L 127 × 76 × 12,7   m m mostrada na figura, use o círculo de Mohr para determinar a os momentos de inércia e o produto de inércia em relação a eixos centroidais novos obtidos por rotação dos eixos x e y de 30 ° no sentido horário, b a orientação dos eixos principais por meio do centroide e os valores correspondentes dos momentos de inércia.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

O círculo de Mohr é definido pelo diâmetro X Y em que:

X ( 414,35 - 123,47 )

Y 112,05 - 123,47

Substituindo I - x e I - y , temos que:

I - m é d = 1 2 I - x +   I - y

I - m é d = 1 2 414,35 + 112,05

I - m é d = 263,2   m m 4

O raio R , será:

R = 1 2 I - x +   I - y 2 + I - x y 2

R = 1 2 414,35 + 112,05 2 + - 123,47

R = 290,72   m m 4

Logo:

tan ⁡ 2 θ m = 2 I - x y I - x -   I - y

tan ⁡ 2 θ m = 2 - 123,47 414,35 - 112,05

tan ⁡ 2 θ m = 0,82

Resolvendo, temos que:

2 θ m = 39,27 °

θ m = 19,63 °

E:

α = 180 ° - 39,27 ° + 60 °

α = 80,73 °

Passo 2

De posse destes dados, podemos encontrar o que foi solicitado:

I - x ' = I - m é d - R cos ⁡ α

I - x ' = 263,2 - 290,72 cos ⁡ 80,73 °

I - x ' = 216,38   m m 4

Temos também que:

I - y ' = I - m é d + R cos ⁡ α

I - y ' = 263,2 + 290,72 cos ⁡ 80,73 °

I - y ' = 310,03   m m 4

E:

I - x ' y ' = - R cos ⁡ α

I - x ' y ' = - 290,72 cos ⁡ 80,73 °

I - x ' y ' = - 46,83   m m 4

Passo 3

Item b:

Observe que o eixo principal é obtido a partir da rotação do eixo x y através de um ângulo de 19,63 ° no sentido anti-horário a partir de C . Portanto:

I - m á x = I - m é d + R

I - m á x = 263,2 + 290,72

I - m á x = 553,92   m m 4

E:

I - m í n = I - m é d - R

I - m í n = 263,2 - 290,72

I - m í n = - 27,52   m m 4

Resposta

a )   I - x ' = 216,38   m m 4

I - y ' = 310,03   m m 4

I - x ' y ' = - 46,83   m m 4

b )   I - m á x = 553,92   m m 4

  I - m í n = - 27,52   m m 4

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