61. O cilindro de 800   l b é suportado por três correntes, como mostrado na figura. Determine a força em cada corrente para a condição de equilíbrio. Considere d = 1   p é .

Passo 1

Vamos lá, para resolver esse problema, temos que considerar o sistema em equilíbrio, logo:

∑ F x = 0

∑ F y = 0

∑ F z = 0

Então para isso teremos que decompor as forças que cada arame realiza. Se observar a figura, o arame A C só tem componentes em x e z , o arame A D só tem componentes em y e z e o arame A B tem componentes nas três direções.

E como acharemos essas componentes? Vejamos que podemos formar triângulos retângulos imaginários (nesse caso são todos iguais) com os arames e a figura fornece o valor dos catetos então só faltaria achar a hipotenusa, que fica fácil usando Pitágoras, então:

h = 1 2 + 1 2

= 2

Tendo isso, podemos achar as componentes das forças por proporcionalidade dos lados desse triângulo, a componente horizontal vale 1 2 da força original e a componente vertical vale 1 2 da força original.

Sabendo disso podemos abrir as equações de equilíbrio.

Passo 2

Vamos abrir as equações então.

∑ F x = 0

1 2 F A C - 1 2 cos ⁡ 45 ° F A B = 0

⇒ 0 , 707 F A C - 0 , 5 F A B = 0

∑ F y = 0

- 1 2 F A D + 1 2 sin ⁡ 45 ° F A B = 0

⇒ - 0 , 707 F A D + 0 , 5 F A B = 0

∑ F z = 0

1 2 F A C + 1 2 F A D + 1 2 F A B - 80 0 = 0

⇒ 0 , 707 F A C + 0,707 F A D + 0,707 F A B = 80 0

Passo 3

Agora vamos analisar o que encontramos no passo anterior, então temos o seguinte:

0,707 F A C - 0,5 F A B = 0

- 0,707 F A D + 0,5 F A B = 0

0,707 F A C + 0,707 F A D + 0,707 F A B = 800

Vamos fazer o seguinte, vamos isolar F A B na primeira equação, substituir na segunda, tendo feito isso vamos isolar F A D na segunda equação e substituir o que encontramos na terceira equação, para aí sim conseguirmos encontrar F A C . Vamos então.

F A B = 0 , 707 0 , 5 F A C

⇒ - 0 , 707 F A D + 0 , 5 0 , 707 0 , 5 F A C = 0

⇒ F A D = F A C

Sabendo disso vamos usar esses resultados na terceira equação, então:

0,707 F A C + 0,707 F A D + 0,707 F A B = 800

⇒ 0 , 707 F A C + 0,707 F A C + 0,707 0,707 0,5 F A C = 80 0

⇒ 0,707 F A C + 0,707 F A C + 0,999 F A C = 80 0

⇒ 2 , 4 13 F A C = 80 0

⇒ F A C = 331,53   l b

Passo 4

Sabendo que F A C = 331,53 , temos como achar F A D e F A B , através das seguintes equações:

F A D = F A C

F A B = 0,707 0,5 F A C

Então:

F A D = 331,53   l b

F A B = 0,707 0,5 331,53

= 468,78   l b

Resposta

F A B = 468,78   l b

F A C = 331,53   l b

F A D = 331,53   l b

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