47. Determine a deformação necessária em cada uma das molas para manter a caixa de 20   k g na posição de equilíbrio mostrada na figura. Cada mola tem comprimento de 2   m sem deformação e rigidez k = 300   N / m .

Passo 1

Para determinar o que é pedido no enunciado, vamos considerar que o sistema está em equilíbrio, logo:

∑ F → = 0

Então analisando essa equação será possível encontrar a intensidade da força de cada mola e da corda O C , sabendo a intensidade das forças das molas, basta lembrar a fórmula para uma força elástica (no caso das molas), que é dada por:

F E = k x

Onde k é a rigidez da mola e x o quanto se deslocou, então o que queremos achar é x , logo:

x = F E k

Mas para abrirmos aquela primeira equação mencionada, a de equilíbrio, temos que escrever as forças na forma vetorial. Para transforma a forças, basta multiplicá-las pelo vetor unitário que tem a mesma direção de cada força, e podemos obtê-los através da figura.

Mas se reparar na figura, só precisaremos usar esse método com a força F O C , pois as outras forças têm suas direções iguais a de um dos eixos coordenados, logo:

F O A → = { 0 i - F O A j + 0 k }

F O B → = { - F O B i + 0 j + 0 k }

W → = { 0 i + 0 j - 9,8 ( 20 ) k }

Passo 2

Então vamos achar o vetor unitário para força F O C , achamos através da seguinte relação:

u = u → u →

Vamos lá então:

u O C = O C → O C →

= 6 i + 4 j + 12 k 36 + 16 + 144

= 6 i + 4 j + 12 k 196

= 0 , 428 i + 0 , 285 j + 0,857 k

Pronto, temos o vetor unitário que precisamos.

Então nossa força F O C na forma vetorial é dada por:

F O C → = F O C { 0,428 i + 0,285 j + 0,857 k }

Passo 3

Vamos lá então, vamos expandir essa equação:

∑ F → = 0

0 i - F O A j + 0 k + - F O B i + 0 j + 0 k + 0,428 F O C i + 0,285 F O C j + 0,857 F O C k +

+ 0 i + 0 j - 196 k = 0

⇒ - F O B + 0,428 F O C i + - F O A + 0 , 285 F O C j + 0 , 857 F O C - 196 k = 0

Então temos que:

- F O B + 0,428 F O C = 0

- F O A + 0,285 F O C = 0

0,857 F O C - 196 = 0

Passo 4

Agora vamos analisar o que encontramos no passo anterior, então temos o seguinte:

- F O B + 0,428 F O C = 0

- F O A + 0,285 F O C = 0

0,857 F O C - 196 = 0

Da terceira equação temos:

0,857 F O C = 196

⇒ F O C = 228,7   N

Substituindo esse resultado nas outras duas equações, temos:

- F O B + 0,428 ( 228,7   ) = 0

⇒ F O B = 97,8   N

- F O A + 0,285 ( 228,7   ) = 0

⇒ F O A = 65,2

Passo 5

Agora que temos as forças que as molas fazem, vamos achar suas deformações, através da fórmula que foi mostrada no passo 1 .

Vamos começar com a mola O A .

x O A = F O A k

= 65,2 300

= 0,217   m

Agora com a mola O B .

x O B = F O B k

= 97,8 300

= 0 , 326   m

Resposta

x O A = 0,217   m

x O B = 0,326   m

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