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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 161

Complete a dedução das equações 9.47 , que representam o teorema de eixos paralelos para produtos de inércia de massa.

Passo 1

Para continuarmos a dedução das equações devemos lembrar que temos

I x y = ∫ x y   d m ,     I y z = ∫ y z   d m ,     I z x = ∫ z x     d m     i

x = x ' + x - ,     y = y ' + y - ,     z = z ' + z -     i i

Se pegarmos

I x y = ∫ x y   d m

Substituindo o valor de x   e   y encontrados em i i teremos

I x y = ∫ x ' + x - ⋅ y ' + y -   d m

I x y = ∫ x ' y ' d m + y - ⋅ ∫ x ' d m + x - ⋅ ∫ y '   d m + x - y - ⋅ ∫ d m

Pela definição temos que

I x ' y ' - = ∫ x ' y ' d m

Além disso, temos que

∫ x ' d m = m x ' -   e   ∫ y ' d m = m y ' -

No entanto, a origem do sistema de coordenadas preparado vai coincidir com o centro de gravidade do nosso corpo. Assim,

x ' - = y ' - = 0

Portanto,

I x y = I x ' y ' - + m ⋅   x - ⋅ y - .

Para I y z   e   I z x as expressões são obtidas de maneira análogas a essa.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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