Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 130

Mostre que, para uma pirâmide regular de altura h e n lados n = 3 ,   4 ,   … , o centroide do volume da pirâmide está localizado a uma distância h / 4 acima da base.

Passo 1

Tá legal, vamos lá! A primeira coisa que devemos fazer é escolher um elemento diferencial de espessura d y , dessa forma, para qualquer número n de lados, a área da base da pirâmide é dada por:

A b a s e = k b 2

Onde k fica em função do número de lados. Agora, para uma altura y , podemos relacionar o comprimento da base b com o comprimento s referente a essa altura da seguinte forma:

s h - y = b h → s = b h ( h - y )

Dessa forma, o elemento diferencial de volume será dado por:

d V = A b a s e d y = k s 2 d y

Substituindo o valor de s da equação anterior:

d V = k b 2 h 2 h - y 2 d y

Passo 2

Então, aplicando a integral dos dois lados dessa expressão, temos:

∫ d V = ∫ k b 2 h 2 h - y 2 d y

Resolvendo as integrais, temos:

V = k b 2 h 2 - 1 3 h - y 3 0 h

Substituindo os limites de integração:

V = k b 2 h 2 - 1 3 h - h 3 - - 1 3 h - 0 3

Então, simplificando a expressão, temos o volume para a figura gerada:

V = 1 3 k b 2 h

Passo 3

Agora podemos usar a expressão que relaciona o centro de massa em y com o volume do sólido em estudo, lembrando que nesse caso a coordenada y - E L = y :

y - V = ∫ y - E L d V

Então, substituindo o valor de y - E L e d V :

y - V = ∫ a h y k b 2 h 2 h - y 2 d y = k b 2 h 2 ∫ a h y h 2 - 2 h y + y 2 2 d y

Reescrevendo a integral, temos:

y - V = k b 2 h 2 ∫ a h y 3 - 2 h y 2 + h 2 y 2 d y

Resolvendo a segunda integral, temos:

y - V = k b 2 h 2 1 4 y 4 - 2 3 h y 3 + 1 2 h 2 y 2 0 h

Substituindo os limites de integração, temos:

y - V = 1 4 h 4 - 2 3 h h 3 + 1 2 h 2 h 2 - 0

Então, simplificando a expressão e substituindo o valor de V encontrado no passo 2:

y - 1 3 k b 2 h = 1 12 k b 2 h 2

E, isolando y - da equação, temos:

y - = 1 4 h

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a altura h à qual o líquido deve ser vertido dentro do copo cônico de modo que atinja metade da área de superfície no interior do copo. Para o cálculo, desconsidere a espessura do copo.
Determine a área da superfície interior do pistão de freio. Ele consiste em uma peça completamente circular. Sua seção transversal aparece na figura.
Determine o volume do material necessário para realizar a moldagem.
O trocador de calor irradia energia térmica a uma taxa de 2500k J / h para cada metro quadrado de sua área superficial. Determine quantos joules ( J ) são irradiados dentro de um período de 5 horas.
Determine a altura h à qual o líquido deve ser vertido dentro do copo cônico de modo que atinja três quartos da área de superfície no interior do copo. Para o cálculo, desconsidere a espessura do copo