Considere um cubo de massa m e lado a. (a) Mostre que o elipsoide de inércia no centro do cubo é uma esfera e use essa propriedade para determinar o momento de inércia do cubo em relação a uma de suas diagonais. (b) Mostre que o elipsoide de inércia em um dos vértices do cubo é um elipsoide de revolução e determine os momentos principais de inércia do cubo nesse ponto.

Lembre-se que, como trata-se de um formato geométrico conhecido e por sua simetria o momento de inércia é dado por:

E novamente, por sua simetria temos que o produto de inércia é

Assim, vamos utilizar a equação abaixo

Substituindo, temos que

Logo,

Ou

Que é a equação de uma esfera.

Agora! Atente-se que como o elipsoide de inércia é uma esfera, o momento de inércia em relação a qualquer eixo OL através do centro O do cubo deve sempre ser o mesmo. Assim,

Ou seja,

O que demostra o item a).

Observe o esboço acima, ele é uma vista se a linha de visão é ao longo da diagonal que passa pelo vértice A, que é o vértice superior do campo de visão. Para um sistema de coordenadas retangular em A e com um dos eixos de coordenadas alinhados com a diagonal, um elipsoide de inércia em A poderia ser construído.

Logo, se o cubo for girado em 120° em torno da diagonal, a distribuição de massa permanecerá inalterada. Assim, o elipsoide também permanecerá inalterado após sua rotação.

Com isso, e visto nos assuntos, só é possível se o elipsoide for um elipsoide de revolução em que a diagonal seja o eixo de revolução e o eixo principal.

Assim, segue que

Além disso, para um elipsoide de revolução, os dois momentos transversais principais de inércia são iguais e qualquer eixo perpendicular ao eixo de revolução é um eixo principal. Em seguida, aplicando o teorema do eixo paralelo entre o centro do cubo e o vértice A para qualquer eixo perpendicular, teremos

Primeiro note que o vértice A

Substituindo na eq.

Temos

Resolvendo, teremos