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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Rao - Vibrações mecânicas- Ed: 4º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 74

Considere a equação de movimento de um sistema com um grau de liberdade:

m x ¨ + c x ˙ + k x = F

Derive a condição que resulta em oscilações divergentes em cada um os seguintes casos:

(a) quando a função forçante é proporcional ao deslocamento, F ( t ) = F 0 x ( t ) (b) quando a função forçante é proporcional à velocidade, F ( t ) = F 0 r ˙ ( t ) (c) quando a função forçante é proporcional à aceleração, F ( t ) = F 0 r ¨ ( t )

Passo 1

(a) equação do movimento m x ¨ + c x ˙ + k x = F 0 x

Ou m x ¨ + c x ˙ + k - F 0 x = 0 (E1)

Assumindo a solução x ( t ) = C e s t (E2)

em que    C  é a constante ,  E B ⋅ E 1  dada a equação auxiliar  

s 2 + c m s + k - F 0 m = 0 (E3)

Raízes de E3 são

s 1,2 = - c 2 m ± c 2 m 2 - k - F 0 m (E4)

Considere primeiro o caso de rigidez positiva (k> F0). Por esse caso, existem as seguintes possibilidades.

1 – Se c 2 m 2 > k - F 0 m :

Ambos s1 e s2 serão reais e negativos e, portanto, x ( t ) = c 1 e s 1 t + C 2 e s 2 t   E 5 será estável

2 – Se c 2 m 2 = k - F 0 m :

Ambos s1 e s2 serão idênticos, reais e negativos.

x ( t ) = c 1 + c 2 t e s 1 t (E6)

Será estável desde que e s , t → 0  as  t → ∞ ⋅

3 – Se c 2 m 2 < k - F 0 m :

Aqui s1 e s2 serão conjugados complexos e solução será

x ( t ) = C e - c 2 m t s i n ⁡ - c 2 m 2 + k - F 0 m t + ϕ E 7

Isso representa um movimento oscilatório convergente e, portanto, o sistema ficará estável.

Em seguida, considere o caso de rigidez negativa (k

s 1,2 = - c 2 m ± c 2 m 2 + F 0 - k m (E8)

Assim, s1 será positivo e s2 será negativo, e a solução torna-se

x ( t ) = C 1 e + A 1 t + C 2 e - s 2 t (E9)

Esta solução pode divergir como   t → ∞ .

Passo 2

(b) equação do movimento m x ¨ + c x ˙ + k x = F 0 x ˙

Ou x ¨ + c - F 0 m x ˙ + k m x = 0 (E10)

Assumindo a solução x ( t ) = C e s t torna-se

s 2 + c - F 0 m s + k m = 0 (E11)

E portanto s 1,2 = - c - F 0 2 m ± c - F 0 2 m 2 - k m (E12)

Considere primeiro o caso de amortecimento positivo (c> F0) em (E10).

Para este caso, pode-se observar que o sistema ficará estável por

todos os valores possíveis de c - F 0 2 m 2 - k m .

Em seguida, considere o caso de amortecimento negativo c < F 0 .

Dependendo do sinal de garantia sob o radical em Eq. (E12), teremos três tipos de solução.

1 - c - F 0 2 m 2 > k m ⋅ Aqui, ambos s1 e s2 são reais e positivos e portanto x t = c 1 e s 1 t + c 2 e s 2 t   E 13 .

Isso denota um movimento não oscilatório divergente, portanto, o sistema é instável.

2 - c - F 0 2 m 2 = k m . Aqui s1 e s2 são idênticos e são real e positivo. Portanto x ( t ) = C 1 + C 2 t e s 1 t E 14

Isso representa uma solução não oscilatória divergente: então o sistema ficará instável.

3 - c - F 0 2 m 2 < k m . Aqui s1 e s2 são conjugados complexos e, portanto

s 1,2 = F 0 - c 2 m ± i k m - c - F 0 2 m 2 E 15

A solução será

x ( t ) = X e F 0 - c 2 m t s i n ⁡ k m - c - F 0 2 m 2 t + ϕ E 16

Uma vez que o expoente é positivo, E8⋅ (E16) denota um movimento oscilatório divergente e, portanto, o sistema é instável.

Assim, a condição para estabilidade dinâmica do sistema pode ser declarado como

F 0 ≤ c (E17)

Passo 3

(c) equação do movimento m x ¨ + c x ˙ + k x = F 0 x ¨

Ou m - F 0 x ¨ + c x ˙ + k x = 0 (E18)

Assumindo a solução x ( t ) = C e s t (E19)

A equação auxiliar  ser á  

s 2 + c m - F 0 s + k m - F 0 = 0 (E20)

Raízes serão

s 1,2 = - c 2 m - F 0 ± c 2 m - F 0 2 - k m - F 0 (E21)

Considere primeiro o caso de massa positiva (m> F0) em (E18). Neste caso, o sistema será estável para todos os valores de

c 2 m - F 0 2 - k m - F 0 .

Em seguida, considere o caso de massa negativa (m

s 1,2 = c 2 F 0 - c ± c 2 F 0 - m 2 + k F 0 - m .   (E22)

Isso mostra que s1 será positivo e s2 será negativo; assim, a solução será divergente.

Resposta

(a) Esta solução pode divergir como   t → ∞ .

(b) F 0 ≤ c

(c) solução será divergente.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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