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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Rao - Vibrações mecânicas- Ed: 4º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 68

Determine a constante de amortecimento viscoso equivalente de um amortecedor que oferece uma força de amortecimento F d = c ( x ) n , onde c   e   n são constantes e x é a velocidade relativa no amortecedor. Determine também a amplitude de vibração.

Passo 1

Força de amortecimento F = c ( x ˙ ) n

Energia dissipada por ¼ do ciclo durante o movimento harmônico x ( t ) = X s i n ⁡ ω t é

Δ W 4 = ∫ 0 π / 2 ω   c ( x ˙ ) n d x = ∫ 0 π / 2 ω   c ( ω x c o s ⁡ ω t ) n d x

Mas d x = x ˙ d t = ω x c o s ⁡ ω t ⋅ d t

Δ W = 4 c ω n + 1 X n + 1 ∫ 0 π / 2 ω   c o s n + 1 ⁡ ω t ⋅ d t

= 4 c ω n + 1 x n + 1 1 ( n + 1 ) ω c o s n ⁡ ω t ⋅ s i n ⁡ ω t 0 π / 2 ω + n n + 1 ∫ 0 π / 2 ω   c o s n - 1 ⁡ ω t ⋅ d t

= 4 c ω n + 1 X n + 1 n n + 1 ∫ 0 π / 2 ω   c o s n - 1 ⁡ c o t ⋅ d t

Equacionando essa expressão π c e q ω x 2 , obtemos

c e q = 4 c ω n x n - 1 π n n + 1 ∫ 0 π / 2 ω θ n - 1   c o s n ⁡ t ⋅ d t ≡ c ω n x n - 1 α n

Em que α n = 4 π n n + 1 ∫ 0 π / 2 ω   c o s n - 1 ⁡ ω t ⋅ d t … . - E 1

Por exemplo n = 2 , E 1 , teremos

α n = 4 π 2 3 ∫ 0 π / 2 ω   c o s ⁡ ω t ⋅ d t = 8 3 π s i n ⁡ ω t ω 0 π / 20 = 8 3 π 6

E então c e q = 8 c c o x 3 π

Que pode ser vista como a mesma expressão encontrada no Exemplo 3.7. Para alguns outros valores de n, αn pode ser encontrado da seguinte forma:

A amplitude pode ser encontrado como

x = F 0 k - m ω 2 2 + c e 2 2 ω 2 = F 0 k 2 1 - r 2 2 + c e ε 2 ω 2

= F 0 k 2 1 - r 2 2 + c 2 ω 2 ( n + 1 ) x 2 ( n - 1 ) α n 2

Resposta

= F 0 k 2 1 - r 2 2 + c 2 ω 2 ( n + 1 ) x 2 ( n - 1 ) α n 2

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