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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Rao - Vibrações mecânicas- Ed: 4º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 4

Considere um sistema massa-mola c o m ⁡ k = 4.000   N / m e m = 10   k g sujeito a uma força hamônica F ( t ) = 400 c o s ⁡ 20 t N. Determine e construa um gráfico da resposta total do sistema sob as seguintes condições iniciais:(a) x 0 = 0,1   m , x ˙ 0 = 0 (b) x 0 = 0 , x ˙ 0 = 10   m / s (c) x 0 = 0,1   m , x ˙ 0 = 10   m / s

Passo 1

O enunciado pede pra gente determinar e construir um gráfico da resposta total do sistema sob as seguintes condições iniciais:

k = 4000 N / m , m = 10 k g , F ( t ) = 400 c o s ⁡ 20 t N ,

F 0 = 400 N , ω = 20 r a d / s

ω n = k m = 20 r a d / s , ω ω n = 20 20 = 1

Resposta é dada pela equação (3.15)

x t = x 0 cos ⁡ ω n t + x ˙ 0 ω n sin ⁡ ω n t + δ s t ω n t 2 sin ⁡ ω n t                     ( E ⋅ 1 )

Em que δ s t = F 0 / k = 400 / 4000 = 0.1

Passo 2

(a)  x 0 = 0.1 , x ˙ 0 = 0 :

EQ.1 torna-se

x ( t ) = 0.1 c o s ⁡ 20 t + ( 0.1 ) ( 20 ) t 2 s i n ⁡ 20 t

x ( t ) = 0.1 c o s ⁡ 20 t + ( 0.1 ) ( 20 ) t 2 s i n ⁡ 20 t

= 0.1 c o s ⁡ 20 t + t s i n ⁡ 20 t (E.2)

Passo 3

(b)  x 0 = 0 , x ˙ 0 = 10  :

Equação (E.1) torna-se

x ( t ) = 10 20 s i n ⁡ 20 t + ( 0.1 ) ( 20 ) t 2 s i n ⁡ 20 t

= 0.5 s i n ⁡ 20 t + t s i n ⁡ 20 t (E.3)

Passo 4

(c)  x 0 = 0.1 , x ˙ 0 = 10 :

Eq (E.1) torna-se

x ( t ) = 0.1 c o s ⁡ 20 t + 10 20 s i n ⁡ 20 t + ( 0.1 ) ( 20 ) t 2 s i n ⁡ 20 t

= 0.1 c o s ⁡ 20 t + 0.5 s i n ⁡ 20 t + t s i n ⁡ 20 t (E.4)

Resposta

(a) 0.1 c o s ⁡ 20 t + t s i n ⁡ 20 t

(b) 0.5 s i n ⁡ 20 t + t s i n ⁡ 20 t

(c) 0.1 c o s ⁡ 20 t + 0.5 s i n ⁡ 20 t + t s i n ⁡ 20 t

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