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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Rao - Vibrações mecânicas- Ed: 4º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 3

Considere um sistema massa-mola c o m ⁡ k = 4.000   N / m e m = 10   k g sujeito a uma força harmônica F ( t ) = 400 c o s ⁡ 10 t N. Determine e construa um gráfico da resposta total do sistema sob as seguintes condições iniciais:(a) x 0 = 0,1   m , x ˙ 0 = 0 (b) x 0 = 0 , x ˙ 0 = 10   m / s (c) x 0 = 0,1   m , x ˙ 0 = 10   m / s

Passo 1

k = 4000 N / m , m = 10 k g , F ( t ) = 400 c o s ⁡ 10 t N

F 0 = 400 N , ω = 10 r a d / s

ω n = k m = 20 r a d / s , ω ω n = 10 20 = 0.5 < 1

Resposta é dada pela equação 3.9

x ( t ) = x 0 - F 0 k - m ω 2 c o s ⁡ ω n t + x ˙ 0 ω n s i n ⁡ ω n t + F 0 k - m ω 2 c o s ⁡ ω t

Passo 2

(a)  x 0 = 0.1 , x ˙ 0 = 0 :

Eq. (E.1) torna-se

x ( t ) = 0.1 - 400 4000 - 10 ( 100 ) c o s ⁡ 20 t + 400 4000 - 10 ( 100 ) c o s ⁡ 10 t

= - 0.033333 c o s ⁡ 20 t + 0.133333 c o s ⁡ 10 t (E.2)

Passo 3

(b)  x 0 = 0 , x ˙ 0 = 10 :

Eq.  ( E , 1 ) torna-se

x ( t ) = 0 - 400 4000 - 10 ( 100 ) c o s ⁡ 20 t + 10 20 s i n ⁡ 20 t

+ 400 4000 - 10 ( 100 ) c o s ⁡ 10 t

= - 0.133333 c o s ⁡ 20 t + 0.5 s i n ⁡ 20 t + 0.133333 c o s ⁡ 10 t (E.3)

Passo 4

(c)  x 0 = 0.1 , x ˙ 0 = 10 :

Eq.1 torna-se

x ( t ) = 0.1 - 400 4000 - 10 ( 100 ) c o s ⁡ 20 t + 10 20 s i n ⁡ 20 t

+ 400 4000 - 10 ( 100 ) c o s ⁡ 10 t

= - 0.033333 c o s ⁡ 20 t + 0.5 s i n ⁡ 20 t + 0.133333 c o s ⁡ 10 t (E.4)

Resposta

(a) - 0.033333 c o s ⁡ 20 t + 0.133333 c o s ⁡ 10 t

(b) - 0.133333 c o s ⁡ 20 t + 0.5 s i n ⁡ 20 t + 0.133333 c o s ⁡ 10 t

(c) - 0.033333 c o s ⁡ 20 t + 0.5 s i n ⁡ 20 t + 0.133333 c o s ⁡ 10 t

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