Enunciado

Constatou-se que uma ponte vibra violentamente quando um veículo, que produz uma carga harmônica de magnitude de 600 N, a atravessa. Modelando a ponte como um sistema massa-mola não amortecido com 15.000 kg de massa e rigidez de 2 MN/m, calcule um absorvedor de vibração amortecido sintonizado adequado. Determine a melhoria obtida na amplitude da ponte com o absorvedor.

Passo 1

Falaaa galerinha, cêis tão baunzinhoo??

Bora láa??

Iremos calcular a frequência natural da ponte a partir da seguinte expressão:

ω 1 = k 1 m 1

Substituindo

ω 1 = 2 M N m 15000   k g

ω 1 = 2 × 10 6 N m 15000   k g

ω 1 = 11.54   r a d / s e c

Passo 2

Iremos calcular a amplitude inicial de X 1 partindo da seguinte expressão:

X 1 = F 0 k - m ω 2 2 + ω 2 c 2 1 2

Nesse caso, não há amortecimento, portanto, substitua 0 por c.

X 1 = F 0 k - m ω 2 2 + ω 2 ( 0 ) 2 1 2

X 1 = F 0 k - m ω 2

Substituindo os valores numéricos

X 1 = 600 2 × 10 6 - 15000 11.54 2

X 1 = 0.247   m

Passo 3

Para o absorvedor de vibração sintonizado, temos:

ω 2 ω 1 = 1 1 + m 2 m 1

ω 2 = ω 1 1 + m 2 m 1

Substituindo os valores numéricos

ω 2 = 11.54 1 + m 2 15000                         ( 1 )

Passo 4

Uma vez que não existe apenas uma combinação de massa e rigidez que fornece um absorvedor de vibração sintonizado, presume- se m 2 que seja igual a 1000 kg.

ω 2 = 11.54 1 + m 2 15000

ω 2 = 11.54 1 + 1000 15000

ω 2 = 10.82   r a d / s e c

Use a seguinte expressão para determinar a rigidez do sistema com absorvedor de vibração sintonizado

k 2 = m 2 ω 2 2

k 2 = 1000   k g 10.82 r a d s e c 2

k 2 = 117072   N / m

Sendo assim a rigidez do absorvedor de vibração amortecido sintonizado é 117,072 N/m

Passo 5

Para o cálculo a fim de determinar um caso ideal , usaremos

ζ = 3 m 2 m 1 8 1 + m 2 m 1 3

Substituindo

ζ = 3 1000 15000 8 1 + 1000 15000 3

ζ = 0.02

Sendo assim, a relação de amortecimento para o sistema amortecedor de vibração sintonizado é 0.02.

Passo 6

Usando a seguinte expressão para calcular a amplitude do novo sistema ( X 1 ,   a ) quando o absorvedor de vibração é usado:

X 1 ,   a = δ s t 1 + 2 m 2 m 1

X 1 ,   a = F 0 k 1 1 + 2 m 2 m 1

Substituindo os valores

X 1 ,   a = 600 2 × 10 6 1 + 2 1000 15000

X 1 ,   a = 0.001667   m

Passo 7

Para que possamos verificar a melhoria realizada através do absorvedor de vibração, calcule a relação das amplitudes:

X 1 ,   a X 1 , = 0.001667   m 0.247   m

X 1 ,   a X 1 , = 0.675 %

Portanto, a amplitude diminuiu para 0.675% a amplitude inicial.

Resposta

Vide o passo a passo.

Ver Outros Exercícios desse livro