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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 60

Uma cunha de 15° é forçada por baixo de um tubo de 50 kg, tal como mostra a figura. O coeficiente de atrito estático de todas as superfícies é 0,20. ( a ) Mostre que o deslizamento ocorrerá entre o tubo e a parede vertical. ( b ) Determine a força P necessária para mover a cunha.

Passo 1

Vamos começar esse excercício desenhando o diagrama de corpo livre para o tubo:

Sabemos que as forças de atrito podem ser escritas como:

F A = μ s N A

F B = μ s N B

Agora vamos calcular o somatório de momento do sistema em relação ao ponto B, assumindo escorregamento em A:

+ ↺ ∑ M B = 0

W r s e n θ + F A r + r s e n θ - N A r c o s θ = 0

Substituindo o valor de F A descrito no passo 1 e simplificando o r :

W s e n θ + μ s N A 1 + s e n θ - N A c o s θ = 0 → N A μ s 1 + s e n θ - c o s θ = - W s e n θ

N A = W s e n θ c o s θ - μ s ( 1 + s e n θ )

Agora, susbtituindo os valores para μ s e θ dados no enunciado:

N A = W s e n 15 ° c o s 15 ° - 0,2 ( 1 + s e n 15 ° ) → N A = 0,3624 W

Passo 2

Agora vamos aplicar o somatório na direção do eixo x :

+ ↗ ∑ F x = 0

- F B - W s e n θ - F A s e n θ + N A c o s θ = 0

F B = - W s e n θ - μ s N A s e n θ + N A c o s θ

Substituindo o valor encontrado para N A :

F B = - W s e n 15 ° - ( 0,2 ) 0,3624 W s e n 15 ° + 0,3624 W c o s 15 ° → F B = 0,0725 W

Agora vamos aplicar o somatório de forças na direção y :

+ ↖ ∑ F y = 0

N B - W c o s θ - F A c o s θ - N A s e n θ = 0

N B = W c o s θ + μ s N A c o s θ + N A s e n θ

Substituindo o valor encontrado para N A :

N B = W c o s 15 ° + 0,2 0,3624 W c o s 15 ° + 0,3624 W s e n 15 ° → N B = 1,1297 W

Agora, com o valor da reação em B, podemos calcular a força de atrito máxima nesse ponto:

F a m a x = μ s N B = 0,2 1,1297 W → F a m a x = 0,226 W

Então, como F B = 0,0725 W < F a m a x não há escorregamento em B, somente em A como supomos.

Passo 3

Agora vamos analisar o diagrama de corpo livre da cunha:

Aplicando o somatório de forças na direção y , temos:

+ ↑ ∑ F y = 0

N 2 - N B c o s θ + F B s e n θ = 0

Substituindo os valores encontrados no passo 2, temos:

N 2 = 1,1297 W c o s 15 ° - 0,0725 W s e n 15 ° → N 2 = 1,073 W

Agora, aplicando o somatório de forças na direção x :

+ → ∑ F x = 0

F B c o s θ - N B s e n θ + μ s N 2 - P = 0

Substituindo os valores encontrados no passo anterior, temos:

P = 0,0725 W c o s 15 ° + 1,1297 W s e n 15 ° + 0,2 1,073 W → P = 0,577 W

E, finalmente, substituindo o valor do peso:

P = 0,577 50 9,81 → P = 283   N

Resposta

P = 283   N

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