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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 178

Dados um corpo homogêneo de massa m e de formato arbitrário e três eixos retangulares x, y e z com origem em O, demonstre que a soma I x + I y + I z dos momentos de inércia do corpo não pode ser menor que a soma equivalente calculada para uma esfera de igual massa e mesmo material centrada em O. Além disso, usando-os resultados do Problema 9.176, mostre que, se o corpo é sólido de revolução, com x representando o eixo de revolução, seu momento de inércia I y   em relação a um eixo transversal y não pode ser menor que 3 m a 3 / 10 , sendo a o raio da esfera de igual massa e mesmo material.

Passo 1

Sabemos que,

I x = ∫ ( y 2 + z 2 ) d m

I y = ∫ z 2 + x 2 d m

I z = ∫ ( x 2 + y 2 ) d m

Portanto

I x + I y + I z = ∫ y 2 + z 2 d m +   ∫ z 2 + x 2 d m + ∫ ( x 2 + y 2 ) d m

I x + I y + I z = 2 ∫ x 2 + y 2 + z 2 d m

I x + I y + I z = ∫ r 2 d m

Onde r é a distância da origem O ao elemento de massa dm. Agora suponha que o corpo dado possa ser formado adicionando o subtraindo os volumes V 1 e V 2 apropriados de uma esfera de massa m e raio a que está centralizado em O.

Segue-se então que

m 1 = m 2

m c o r p o = m e s f e r a = m

Passo 2

Portanto, podemos concluir que

I x + I y + I z c o r p o = I x + I y + I z e s f e r a + I x + I y + I z V 1 - I x + I y + I z V 2

Substituindo

I x + I y + I z c o r p o = I x + I y + I z e s f e r a + 2 ∫ m 1 r 2 d m - 2 ∫ m 2 r 2 d m  

Como, m 1 = m 2 e r 1 ≥ r 2 para todos os elementos de massa dm nos volumes 1 e 2, temos que

∫ m 1 r 2 d m - ∫ m 2 r 2 d m ≥ 0

Logo,

I x + I y + I z c o r p o ≥ I x + I y + I z e s f e r a

Isso demostra a primeira parte.

Passo 3

Para demostrar a segunda parte, lembre-se que na esfera

I x = I y = I z = 2 5 m a 2

Então

I x + I y + I z e s f e r a = 6 5 m a 2

Para um solido em revolução, onde o eixo x é o eixo de revolução, nós temos que

I y = I z

Certo! Estamos quase terminando, agora vamos usar a demonstração da primeira parte. Logo,

I x + 2 I y c o r p o ≥ 6 5 m a 2

Podemos afirmar também que,

I y ≥ 1 2 I x

Ou

2 I y - I x c o r p o ≥ 0

Substituindo na outra desigualdade, obtemos

4 I y c o r p o ≥ 6 5 m a 2

Logo,

I y c o r p o ≥ 3 10 m a 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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