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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Rao - Vibrações mecânicas- Ed: 4º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 45

Deduza a equação de frequência do sistema mostrado na Figura 6.24.

Passo 1

Falaaa meus amigos! Como vocês estão? Vamos pra mais uma questãozinha desse assunto?

Bom, lá do problema 6.19, nós já conseguimos as equações de movimento, que na forma matricial, são as seguintes:

m 1           0           0 0           m 2           0 0           0           m 3 x 1 ¨ x 2 x 3 ¨ ¨ + k 1 + k 2         - k 2                 0 - k 2           k 2 + k 3         - k 3 0             - k 3                 k 3 + k 4 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Para um movimento harmônico e fazendo x i t = x i cos ⁡ ( ω t + ∅ ) ; i - 1,2 , 3 , nós temos o seguinte:

- ω 2 m 1 + k 1 + k 2             - k 2                     0 - k 2       - ω 2 m 2 +   k 2 + k 3         - k 3 0             - k 3               - ω 2 m 3 + k 3 + k 4 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Consequentemente, as equações de frequência são:

- ω 2 m 1 + k 1 + k 2             - k 2                     0 - k 2       - ω 2 m 2 +   k 2 + k 3         - k 3 0             - k 3               - ω 2 m 3 + k 3 + k 4 = 0 0 0

Ou seja:

- ω 2 m 1 + k 1 + k 2 - ω 2 m 2 +   k 2 + k 3   - ω 2 m 3 + k 3 + k 4 - k 3 2 + k 2 - k 2 ( - ω 2 m 3 + k 3 + k 4 ) = 0

Ou seja, por fim:

ω 6 m 1 m 2 m 3 - ω 4 m 1 m 2 k 3 + k 4 + m 2 m 3 k 1 + k 2 + m 1 m 3 k 2 + k 3 + ω 2 m 1 k 2 + k 3 k 3 + k 4 + m 2 k 1 + k 2 k 3 + k 4 + m 3 k 1 + k 2 k 2 + k 3 - m 1 k 3 2 - m 3 k 2 2 - k 1 + k 2 k 2 + k 3 k 3 + k 4 + k 1 + k 2 k 3 2 + k 3 + k 4 k 2 2 = 0

Resposta

ω 6 m 1 m 2 m 3 - ω 4 m 1 m 2 k 3 + k 4 + m 2 m 3 k 1 + k 2 + m 1 m 3 k 2 + k 3 + ω 2 m 1 k 2 + k 3 k 3 + k 4 + m 2 k 1 + k 2 k 3 + k 4 + m 3 k 1 + k 2 k 2 + k 3 - m 1 k 3 2 - m 3 k 2 2 - k 1 + k 2 k 2 + k 3 k 3 + k 4 + k 1 + k 2 k 3 2 + k 3 + k 4 k 2 2 = 0

Ver Outros Exercícios desse livro