Enunciado

Deduza a equação de frequência para a vibração torcional de um eixo uniforrne que suporta rotores de momento de inércia de massa I 01 e I 02 , um em cada extremidade.

Passo 1

E aí, galerinha!

Bom! Bora lá pro que interessa!

Antes de mais nada, vamo pra uma introduçãozinha!

Pois muito bem! Para um sistema torcional, temos a seguinte equação...

θ x , t = A cos ⁡ ω x c + B sen ⁡ ω x c C cos ⁡ ω t + D sen ⁡ ω t   ( i )

Passo 2

E se os rotores de momentos de inércia I 01 e I 02 estão em ambas as extremidades, então temos um eixo com extremidades fixas.

Pelo que em x = 0 ;

J 1   ∂ 2 θ ∂ t 2 = G J   ∂ θ ∂ x     ( i i )

E em x = l ;

- J 2   ∂ 2 θ ∂ t 2 = G J   ∂ θ ∂ x   ( i i i )

Temos as seguintes equações acima!

Passo 3

Combinando as equações ( i ) e ( i i ) , obtemos que...

J 1 ω 2 A + G J ω c B = 0

Combinando as equações ( i ) e ( i i i ) , temos que...

J 2 ω 2 cos ⁡ ω l c + G J ω c sen ⁡ ω l c A + J 2 ω 2 sen ⁡ ω l c - G J ω c cos ⁡ ω l c B = 0

Agora, vamos reorganizar essas duas equações aí na forma matricial...

J 1 ω 2 G J ω c J 2 ω 2 cos ⁡ ω l c + G J ω c sen ⁡ ω l c J 2 ω 2 sen ⁡ ω l c - G J ω c cos ⁡ ω l c A B = 0 0

Pra achar nossa resposta, basta tirar o determinante dessa primeira matriz:

det ⁡ J 1 ω 2 G J ω c J 2 ω 2 cos ⁡ ω l c + G J ω c sen ⁡ ω l c J 2 ω 2 sen ⁡ ω l c - G J ω c cos ⁡ ω l c =

= J 1 J 2 ω 4 sen ⁡ ω l c - J 1 G J ω 3 c cos ⁡ ω l c - J 2 ω 3 G J c cos ⁡ ω l c - G 2 J 2 ω 2 c 2 sen ⁡ ω l c = 0

Ajustando e dividindo tudo por ω 2 :

J 1 J 2 ω 2 sen ⁡ ω l c - J 1 ω G J c cos ⁡ ω l c - J 2 ω G J c cos ⁡ ω l c - G 2 J 2 c 2 sen ⁡ ω l c = 0

J 1 J 2 ω 2 sen ⁡ ω l c - ( J 1 + J 2 ) G J ω c cos ⁡ ω l c - G 2 J 2 c 2 sen ⁡ ω l c = 0

Resposta

J 1 J 2 ω 2 sen ⁡ ω l c - ( J 1 + J 2 ) G J ω c cos ⁡ ω l c - G 2 J 2 c 2 sen ⁡ ω l c = 0

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