Enunciado

Um eixo de aço de diâmetro de comprimento l é fixo em uma extremidade e suporta um propulsor a hélice de massa m e momenta de inércia de massa J 0 na outra extremidade (Figura 8.27). Determine a frequência natural fundamental de vibração do eixo em:

(a) vibração axial;

(b) vibração torcional;

Dados: d   =   5   c m , l   =   1   m , m   =   100   k g , J 0 =   10   k ⋅ m 2 .

Bom! E falando agora sobre o canvas pra parte do robô cilíndrico, vou destacar aqui algumas coisas em especial...

Passo 1

E aí, galerinha!

Bom! Bora lá pro que interessa!

Vamos começar fazendo um esboço do nosso eixo, pra entender melhor o que tá acontecendo...

Passo 2

a) Para vibração axial, temos que...

β = m 0 m = m a s s a   d o   e i x o m a s s a   t o t a l

Usando a densidade do aço ρ = 76500   k N / m 3 , temos que a massa m 0 vai ser dada pelo produto de ρ pelo volume do eixo, que nada mais é que um cilindro...

m 0 = π d l 2 ρ 4

m 0 = π 4 ⋅ 5 100 2 ⋅ 1 ⋅ 76500 9,81

m 0 = 15,3117   K g

Uma vez que a massa total m = 100   k g , então temos que...

β = 15,3117 100 = 0,153117

Bom! De acordo com a tabela 8.1 , o valor de α 1 para β = 0,1531 é dado por interpolação linear...

α 1 = 0,6099 ⋅ 0,1531 + 0,2503 = 0,3437

Sendo assim, a frequência natural de vibração torcional vai ser dada por...

ω 1 = α 1 c l = α 1 l ⋅ E ρ

Uma vez que E = 207   G P a para o aço, obtemos que...

ω 1 = α 1 l ⋅ E ρ

ω 1 = 0,3437 1 ⋅ 207 ⋅ 10 9 76500 9,81

ω 1 = 1770,7958   r a d / s

Passo 3

b) Para vibração torcional, por sua vez, o valor de β por sua vez, vai ser...

β = J - r o d I 0 = J ρ l I 0

Onde J é o momento polar de inércia. Para o eixo, temos que...

J = π 32 d 4 = π 32 ⋅ 0,05 4 = 2,4544 ⋅ 10 - 8   m 4

A densidade por sua vez, a gente já sabe que é...

ρ = 76500 9,81   k g / m 3

Lembrando qe estamos dividindo por 9,81 pra fazer o ajuste para k g / m 3 . Calculando o momento polar do eixo...

J - r o d = J ρ l = 2,4544 ⋅ 10 - 8   m 4 76500 9,81 k g m 3 1

J - r o d = 1,914 ⋅ 10 - 4   k g ⋅ m 2

O valor de β então, vai ser...

β = J - r o d I 0 = 1,914 ⋅ 10 - 4   10

β = 1,9140 ⋅ 10 - 5

Uma vez que β tende a zero, então temos que...

ω 1 = c l β = G β ρ

Sendo G do aço igual à 80   G P a , temos que...

ω 1 = 80 ⋅ 10 9 76500 9,81

ω 1 = 14,0126   r a d / s

Resposta

a)

ω 1 = 1770,7958   r a d / s

b)

ω 1 = 14,0126   r a d / s

Ver Outros Exercícios desse livro