Enunciado

Determine as frequências naturais para vibração torcional de um eixo fixo-fixo.

Passo 1

E aí, galerinha!

Bom! Bora lá pro que interessa!

Pois muito bem! Para um sistema torcional, temos a seguinte equação...

θ x , t = A cos ⁡ ω x c + B sen ⁡ ω x c ( C cos ⁡ ω t + D sen ⁡ ω t )

E como podemos ver pela nossa figura, onde ambas as extremidades estão fixas...

Em x = 0 , temos que...

θ x = 0 , t = 0

Logo, substituindo x = 0 na equação de θ ( x , t ) :

A cos ⁡ ω x c + B sen ⁡ ω x c C cos ⁡ ω t + D sen ⁡ ω t = 0

A cos ⁡ ω ⋅ 0 c + B sen ⁡ ω ⋅ 0 c C cos ⁡ ω t + D sen ⁡ ω t = 0

A C cos ⁡ ω t + D sen ⁡ ω t = 0

A melhor chance disso aí dar zero é quando...

A = 0

Passo 2

E em x = l , temos que...

θ x = l , t = 0

Logo, substituindo x = l na equação de θ ( x , t ) :

A cos ⁡ ω x c + B sen ⁡ ω x c C cos ⁡ ω t + D sen ⁡ ω t = 0

B sen ⁡ ω l c C cos ⁡ ω t + D sen ⁡ ω t = 0

B sen ⁡ ω l c C cos ⁡ ω t + D sen ⁡ ω t = 0

A melhor chance disso aí dar zero é quando...

sen ⁡ ω l c = 0

E o seno vale zero quando...

sen ⁡ n π = 0 ;     n = 1,2 , …

Logo, temos que...

ω n l c = n π

ω n = n c π l

Se c = G / ρ :

ω n = n π l ⋅ G ρ ,   n = 1,2 , 3 …

Resposta

ω n = n π l ⋅ G ρ ,   n = 1,2 , 3 …

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