Enunciado

Deduza as equações de diferenças finitas para a análise de uma membrana retangular usando m e n pontos de malha nas direções x e y, respectivamente. Considere que a membrana e fixa ao longo de todas as bordas. Use a f6rmula de diferença central.

Passo 1

Alô Alô, cêis tão baunzinhoo??

Espero que sim!!

Simboraáa moçadinha!!!

A vibração forçada de uma membrana retangular pode ser expressa pela seguinte expressão

                                    1

A expressão (1) pode ser reescrita da seguinte maneira

                                  ( 2 )

Das duas expressões acima:

Passo 2

Pelo método de separação w x ,   y ,   z e   F ( x ,   y ,   z ) pode ser assumido como:

Ao substituir a variável na equação (2), podemos obter:

Analisando o eixo x

Divida o comprimento da membrana retangular na direção x em m - 1 partes iguais e denote os pontos da malha 1 ,   2 ,   3   ,   … ,   m como mostrado na figura a seguir. Entre cada malha tem comprimento de g = α / m - 1

Passo 3

A segunda derivada da equação (3) pode ser substituída pela equação de

Ao combinar as equações (3) e (6), a equação de movimento pode ser expressa da seguinte maneira:

Aplicando a equação em cada ponto da malha i = 2 ,   3 ,   4 , … ,   m - 1

Passo 4

Isso pode ser expresso em forma de matriz como

Condição de contorno

Fim fixo-fixo. O deslocamento no eixo x é zero em ambas as extremidades fixas.

X 1 = X m = 0

Portanto, a equação da matriz pode ser reescrita como:

E obtendo a equação final

A + g 2 α 2 i X → = g 2 ρ F x →                           ( 7 )

C o m   g 2 α 2   e   g 2 / ρ são escalares. [ I ] É a ,atriz de identidade da ordem m - 2 .

O problema de autovalores da equação (7) pode ser resolvido facilmente, uma vez que a matriz [ A ] é uma matriz tridiagonal.

Passo 5

Análise no eixo y.

Divida o comprimento da membrana retangular na direção y em n - 1 partes iguais e denote os pontos da malha 1 ,   2 ,   3 , … ,   n como mostrado na figura 1. Entre cada malha tem comprimento de

h = b n - 1

A segunda derivada da equação (4) pode ser substituída pela equação de

d 2 Y j d y 2 = 1 h 2 Y j + 1 - 2 Y j + Y j - 1                 ( 8 )

Ao combinar as equação (4) e (8), a equação de movimento pode ser expressa como:

Passo 6

Aplicando a equação em cada ponto da malha j = 2 ,   3 ,   4 , … ,   n - 1 .

Passo 7

Isso pode ser expresso em forma de matriz:

Condição de contorno

Fim fixo-fixo. O deslocamento no eixo de y é zero em ambas as extremidades fixas.

Y 1 = Y n = 0

Portanto, a equação da matriz pode ser reescrita como:

Passo 8

E obtenha a equação final como

B + h 2 β 2 I Y → = h 2 ρ F   → y                             ( 9 )

Com isso a matriz formada e

h 2 β 2   e     h 2 / ρ são escalares. I É a matriz de identidade da ordem n - 2 .

O problema de autovalores da equação (9) pode ser resolvido facilmente, uma vez que a matriz [ B ] É uma matriz tridiagonal.

Resposta

Vide a explicação.

Ver Outros Exercícios desse livro