Enunciado

Deduza as equações de diferenças finitas que governam a vibração longitudinal forçada de uma barra uniforme fixalivre usando um total de n pontos de malha. Determine as frequências naturais da barra usando n = 4.

Passo 1

Alô Alô, cêis tão baunzinhoo??

Espero que sim!!

Simboraáa moçadinha!!!

A equação governante para vibração longitudinal é dada por

d 2 U d x 2 - α 2 U = F i

Onde

α 2 = ρ ω 2 E

Passo 2

Onde ρ e a densidade do feixe e E é o módulo de Young do feixe. Suponha que o feixe seja dividido em (n-1) partes iguais, usando n pontos. De acordo com o método de diferença Central, a segunda derivada é dada por :

d 2 U i d x 2 = U i - 1 - 2 U i + U i + 1 h 2

Passo 3

Onde

h = l n - 1

E U i representa o deslocamento no nó i t h

d 2 U d x 2 - α 2 U = F i

U i - 1 - 2 U i + U i + 1 h 2 - α 2 U = F i

U i - 1 - 2 U i + U i + 1 - α 2 h 2 U = F i

Vamos, λ = α 2 h 2   , portanto , a equação torna-se

U i - 1 - 2 - λ U i + U i + 1 = F i

Partindo dessa equação, a frequência é dada da seguinte maneira

ω = E λ ρ h 2

Passo 4

Para as condições de limite

U 1 = 0

d U d x = 0   n o   p o n t o   n t h

Que dá

U n + 1 - U n - 1 2 h = 0

U n + 1 = U n - 1

Ao substituir as condições de contorno é a equação governante, obtemos o problema do valor próprio que pode ser resolvido para obter as frequências.

Passo 5

Para n = 4

Ao aplicar as condições de fronteira, as equações de diferenças finitas podem ser expressas como

2 - λ U 2 - U 3 = 0

- U 2 + 2 - λ U 3 - U 4 = 0

- 2 U 3 + 2 - λ U 4 = 0

As equações acima podem ser expressas em termos de matrizes como segue abaixo

2 - λ - 1 0 - 1 2 - λ - 1 0 - 2 2 - λ U 2 U 3 U 4 = 0 0 0

Passo 6

O problema acima pe um problema de valor próprio. Portanto, o determinante da matriz do coeficiente de deslocamento é zero. A solução é dada pela seguinte equação

2 - λ - 1 0 - 1 2 - λ - 1 0 - 2 2 - λ = 0

A equação acima é uma equação cúbica em termos de λ . Ao resolver esta equação, iremos obter três valores de λ da seguinte maneira:

λ 1 = 2

λ 2 = 2 - 3

λ 3 = 2 + 3

Passo 7

As frequências podem ser calculadas usando a seguinte expressão

ω = E λ ρ h 2

Iremos substituir l / 3 por h para a equação acima, e iremos obter as frequências

ω = 9 λ 1 E ρ l 2

Existem três valores de λ , as frequências correspondentes podem ser obtidas da seguinte maneira:

Substitua 2 - 3     p o r   λ

ω 1 = 9 λ 1 E ρ l 2

ω 1 = 9 × 2 - 3 E ρ l 2

ω 1 = 1.552 l E ρ

Substitua 2   p o r   λ

ω 2 = 9 λ 1 E ρ l 2

ω 2 = 9 × 2 E ρ l 2

ω 2 = 4.24 l E ρ

Substitua 2 + 3     p o r   λ

ω 3 = 9 λ 1 E ρ l 2

ω 3 = 9 × 2 + 3 E ρ l 2

ω 3 = 2.79 l E ρ

Resposta

Portanto as frequências são:

ω 1 = 1.552 l E ρ

ω 2 = 4.24 l E ρ

ω 3 = 2.79 l E ρ

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