Deduza as equações de diferenças finitas que governam a vibração longitudinal forçada de uma barra uniforme fixalivre usando um total de n pontos de malha. Determine as frequências naturais da barra usando n = 4.

Onde e a densidade do feixe e E é o módulo de Young do feixe. Suponha que o feixe seja dividido em (n-1) partes iguais, usando n pontos. De acordo com o método de diferença Central, a segunda derivada é dada por :

Onde

E representa o deslocamento no nó

Vamos, , portanto , a equação torna-se

Partindo dessa equação, a frequência é dada da seguinte maneira

Para as condições de limite

Que dá

Ao substituir as condições de contorno é a equação governante, obtemos o problema do valor próprio que pode ser resolvido para obter as frequências.

Para

Ao aplicar as condições de fronteira, as equações de diferenças finitas podem ser expressas como

As equações acima podem ser expressas em termos de matrizes como segue abaixo

O problema acima pe um problema de valor próprio. Portanto, o determinante da matriz do coeficiente de deslocamento é zero. A solução é dada pela seguinte equação

A equação acima é uma equação cúbica em termos de . Ao resolver esta equação, iremos obter três valores de da seguinte maneira:

As frequências podem ser calculadas usando a seguinte expressão

Iremos substituir por para a equação acima, e iremos obter as frequências

Existem três valores de , as frequências correspondentes podem ser obtidas da seguinte maneira:

Substitua

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