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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Rao - Vibrações mecânicas- Ed: 4º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 2

2. O valor r m s de um sinal x ( t ) , x r m s , é definido como...

x r m s = lim T → ∞ ⁡ 1 T ∫ 0 T x 2 t d t 1 2

Usando essa definição, determine os valores r m s do deslocamento ( x r m s ) , da velocidade ( x ˙ r m s ) e da aceleração ( x ¨ r m s ) correspondente a x t = X cos ⁡ ω t

Passo 1

E aí, galerinha!

Simbora lá, meus queridos!

Bom! Temos que...

x t = X cos ⁡ ω t

Elevando isso ao quadrado...

x 2 t = X 2 cos 2 ⁡ ω t

Passo 2

Agora, baseado na fórmula abaixo...

x r m s = lim T → ∞ ⁡ 1 T ∫ 0 T x 2 t d t 1 2

Vamos calcular a integral...

∫ 0 T x 2 t d t = ∫ 0 T X 2 cos 2 ⁡ ω t d t

= X 2 ∫ 0 T cos 2 ⁡ ω t d t = X 2 t 2 + sen ⁡ 2 ω t 4 ω 0 T = X 2 T 2 + sen ⁡ 2 ω T 4 ω  

Dessa forma, temos que...

x r m s 2 = lim T → ∞ ⁡ 1 T ∫ 0 T x 2 t d t = X 2 lim T → ∞ ⁡ 1 T T 2 + sen ⁡ 2 ω T 4 ω =

= X 2 lim T → ∞ ⁡ 1 2 + sen ⁡ 2 ω T 4 ω T = X 2 1 2 + 0 = X 2 2

E então, podemos obter a nossa resposta:

x r m s 2 = X 2 2

x r m s = X 2

Resposta

x r m s = X 2

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