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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Rao - Vibrações mecânicas- Ed: 4º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 36

Deduza as equações de movimento do sistema mostrado na Figura 6.24, utilizando equações de Lagrange.

Passo 1

Falaaa meus amigos! Como vocês estão? Vamos pra mais uma questãozinha desse assunto?

Da fórmula da energia cinética, nós temos:

T = 1 2 m 1 x 1 2 ˙ + 1 2 m 2 x 2 2 ˙ + 1 2 m 3 x 3 2 ˙

Da energia potencial, nós temos:

V = 1 2 k 1   x 1 2 + 1 2 k 2   x 2 - x 1 2 + 1 2 k 3   x 3 - x 2 2 + 1 2 k 4   x 3 2

Dito isso, podemos concluir que, para a primeira coordenada nós temos:

δ T δ x 1 = 0 ,               δ T δ x 1 ˙ = m 1 x 1 ˙ ,             d d t δ T δ x 1 ˙ = m 1 x 1 ¨ ,               δ V δ x 1 = k 1 x 1 - k 2 ( x 2 - x 1 )

Para a segunda:

δ T δ x 2 = 0 ,               δ T δ x 2 ˙ = m 2 x 2 ˙ ,             d d t δ T δ x 2 ˙ = m 2 x 2 ¨ ,               δ V δ x 2 = k 2 x 2 - x 1 - k 3 ( x 3 - x 2 )

E para a terceira:

δ T δ x 3 = 0 ,               δ T δ x 3 ˙ = m 3 x 3 ˙ ,             d d t δ T δ x 3 ˙ = m 3 x 3 ¨ ,               δ V δ x 3 = k 3 x 3 - x 2 + k 4 x 3

Finalmente, para esse caso, dada as equações de Lagrange, temos que:

m x ¨ 1 + x 1 k 1 + k 2 - k 2 x 2 = 0

m 2 x 2 ¨ - k 2 x 1 + x 2 k 2 + k 3 - k 3 x 3 = 0

m 3 x 3 ¨ - k 3 x 2 + x 3 k 3 + k 4 = 0

Resposta

m x ¨ 1 + x 1 k 1 + k 2 - k 2 x 2 = 0

m 2 x 2 ¨ - k 2 x 1 + x 2 k 2 + k 3 - k 3 x 3 = 0

m 3 x 3 ¨ - k 3 x 2 + x 3 k 3 + k 4 = 0

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