Derive a equação de movimento do sistema mostrado na figura 2.73. com a utilização dos seguintes métodos:

  1. Segunda lei do movimento de Newton;
  2. Princípio de D’Alembert;
  3. Princípio do trabalho virtual;
  4. Princípio da conservação da energia.

Fonte: Rao Vibrações Mecânicas – 4ª ed

Passo 1

Olá meus pimpolhos!

Bora dar continuidade à temida Vibrações haha!

Enfim, esse problema basicamente quer nos fazer lembrar de conceitos importantes para diferentes maneiras de encontrar a equação do movimento.

Vamos lá relembrar cada método!

Passo 2

Letra a) Devemos nos lembrar que a segunda Lei de Newton nos diz que o somatório de todas as forças do sistema em movimento é igual ao produto da massa pela aceleração do sistema, assim:

F t = - k 1 x - k 2 x = m x ¨         o u   m x ¨ + k 1 + k 2 x = 0

Passo 3

Letra b) O princípio de D’Alembert afirma que a soma das diferenças entre as forças que agem sobre o sistema e suas derivadas no tempo é zero, assim:

F t - m x ¨ = 0  

Ou

m x ¨ + k 1 + k 2 x = 0

Passo 4

Letra c) O princípio do trabalho virtual nos fala que “é nulo o trabalho realizado ao longo de um deslocamento virtual infinitesimal arbitrário de um sistema, a partir de uma posição de equilíbrio.”

Em outras palavras, o trabalho virtual total realizado por todas as forças deve ser igual a zero, assim:

- m x ¨ δ x - k 1 + k 2 x δ x = 0           o u             m x ¨ + k 1 + k 2 x = 0

Passo 5

Letra d) Por fim, temos o princípio da conservação da energia, que nos diz que, comparando dois instantes, a energia total(mecânica) de um instante deve ser igual a energia total do outro instante analisado.

Então, nesse sistema temos energia cinética e potencial elástica. De acordo com o que foi dito anteriormente, o somatório dessas energias deve ser uma constante, então:

1 2 m x ˙ 2 + 1 2 k 1 x 2 + 1 2 k 2 x 2 = c t e

Aplicando a derivada nos dois lados:

d d t 1 2 m x ˙ 2 + 1 2 k 1 x 2 + 1 2 k 2 x 2 = d d t c t e

Assim, temos:

m x ¨ + k 1 + k 2 x = 0

Resposta

Portanto, foram aplicados os métodos que chegaram a um único valor em comum:

m x ¨ + k 1 + k 2 x = 0

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