Derive as equações de movimento do pêndulo duplo mostrado na Figura 5.17, usando as coordenadas θ 1   e   θ 2 . Determine também as freqüências naturais e formas modais do sistema para m 1 = m 2 = m e l 1 = l 2 = l

Passo 1

Equação do movimento para rotação sobre O e A dá

m 1 l 1 2 θ ¨ 1 = - w 1 l 1 s i n ⁡ θ 1 + Q s i n ⁡ θ 2 l 1 c o s ⁡ θ 1 - Q c o s ⁡ θ 2 l 1 s i n ⁡ θ 1

= - w 1 l 1 θ 1 + Q l 1 θ 2 - θ 1

= - w 1 l 1 θ 1 + w 2 l 1 θ 2 - θ 1 … E 1

Uma vez que a ≃ w 2

m 2 l 2 2 θ ¨ 2 + m 2 l 2 l 1 θ ¨ 1 = - w 2 l 2 s i n ⁡ θ 2

= - w 2 l 2 θ 2 - … E 2

Para m 1 = m 2 = m   e   l 1 = l 2 = l , Eqs (E1) e (E2) se tornam

m l θ ¨ 1 + 2 m g θ 1 - m g θ 2 = 0

m l θ ¨ 1 + m l θ ¨ 2 + m g θ 2 = 0

Assumindo θ i ( t ) = θ i c o s ⁡ ( ω t + ϕ ) ; i = 1,2 , temos

- ω 2 m l + 2 m g   - m g   - ω 2 m l   - ω 2 m l + m g   θ 1   θ 2   = 0   0   … - E 3

Definindo λ = ω 2 m l m g = ω 2 l g , equação da frequência pode ser obtida como - λ + 2         - 1   - λ         - λ + 1   = λ 2 - 4 λ + 2 = 0

λ 1 = 2 - 2 = 0.5858 , λ 2 = 2 + 2 = 3.4142

ω 1 = 0.7654 g l , ω 2 = 1.8478 g l

Passo 2

P a r a   ω 1 ,   p r i m e i r a   e q u a ç ã o   e m   E 3   d á   p a r a   θ 1 = 1

θ 2 = - λ 1 + 2 = 2 = 1.4142

Primeiro modo

P a r a   ω 2 ,   p r i m e i r a   e q u a ç ã o   e m   E 3   d á   p a r a   θ 1 = 1 ,

θ 2 = - λ 2 + 2 = - 2 = - 1.4142

Segundo modo

Localização do nó

3 1 ⋅ 414 2 = 1 - z 1 ; z = 0.4142

Resposta

z = 0.4142

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