Enunciado

Derive as equações de movimento para a vibração livre do sistema mostrado na Figura 5.43. Considerando a solução como x i ( t ) = C i e s t , i = 1,2 , expresse a equação característica na forma

a 0 s 4 + a 1 s 3 + a 2 s 2 + a 3 s + a 4 = 0

Discuta a natureza das possíveis soluções x 1 t   e   x 2 ( t ) .

Passo 1

Equações do movimento para livre vibração são (da Eqs.(5.1) e (5.2)):

m 1 x ¨ 1 + c 1 + c 2 x ˙ 1 + k 1 + k 2 x 1 - c 2 x ˙ 2 - k 2 x 2 = 0   m 2 x ¨ 2 + c 2 + c 3 x ˙ 2 + k 2 + k 3 x 2 - c 2 x ˙ 1 - k 2 x 1 = 0   } (E1)

Assumindo a solução como

x i ( t ) = τ i e s i t ; i = 1,2

Eq (E1) pode ser reescrita como

m 1 s 2 + c 1 + c 2 s + k 1 + k 2         - c 2 s + k 2   - c 2 s + k 2         m 2 s 2 + c 2 + c 3 s + x 2 + k 3   τ 1   τ 2   = 0   0   (E2)

Passo 2

Para uma solução não trivial da Eqs (E2)

m 1 s 2 + c 1 + c 2 s + k 1 + x 2         - c 2 s + k 2   - c 2 s + k 2         m 2 s 2 + c 2 + c 3 s + k 2 + k 3   = 0

i.e s 4 m 1 m 2 + s 3 m 1 c 2 + c 3 + m 2 c 1 + c 2 + s 2 [ m 1 k 2 + k 3

+ c 1 + c 2 c 2 + c 3 + m 2 k 1 + k 2 - c 2 2 ] + s [ c 1 + c 2 k 2 + k 3

+ c 2 + c 3 k 1 + k 2 - 2 c 2 k 2 ] + k 1 + k 2 k 2 + k 3 - k 2 2 = 0 (E3)

Essa equação pode ser expressa como

a 0 s 4 + a 1 s 3 + a 2 s 2 + a 3 s + a 4 = 0 (E4)

Em que a 0 , a 1 , … , a 4 pode ser identificada por comparação Eqs (E4) e (E3)

Passo 3

Natureza das possíveis soluções

Se s 1 , s 2 , s 3 and s 4   são as raízes de Eq⋅ (E4), a solução geral do sistema pode ser expressa como

x 1 ( t ) = ζ 1 ( 1 ) e s , t + ζ 1 ( 2 ) e s 2 t + b 1 ( 3 ) e s 3 t + ζ 1 ( 4 ) e s 4 t   x 2 ( t ) = b 2 ( 1 ) e s , t + ε 2 ( 2 ) e s 2 t + ζ 2 ( 3 ) ⋅ e s 3 t + b 2 ( 4 ) e 14 t   } (E5)

Em que as constantes ζ 1 ( i ) , i = 1 para 4, pode ser encontrada das 4 condições iniciais do sistema, nomeado, x 1 ( 0 ) , x 2 ( 0 ) , x ˙ 1 0 ) e x ˙ 2 ( 0 ) . A razão das amplitudes ζ 1 ( i ) / ζ 2 ( i ) podem ser determinadas das Eqs. E 2 como

ζ 1 ( i ) ζ 2 ( i ) = c 2 s i + k 2 m 1 s i 2 + c 1 + c 2 s i + k 1 + k 2 = m 2 s i 2 + c 2 + c 3 s i + k 2 + k 3 c 2 s i + k 2

i = 1,2 , 3,4 (E6)

Se qualquer raiz tiver uma parte real positiva, x1 (t) e x2 (t) irão aumentar com o tempo. Se todos os si tiverem partes reais negativas como

s j = - r j + i w j

Então a solução, x 1 ( t ) pode ser expressa por

x 1 ( t ) = ∑ j = 1 4   σ 1 ( j ) e - r j t e i w j t = ∑ j = 1 4   σ 1 ( j ) e r j t c o s ⁡ w j t + i s i n ⁡ w j t

Se duas raízes s 1   e   s 2 são conjugados complexos

s 1 = - r 1 + i w 1   e   s 2 = - r 1 - i w 1

x 1 ( t ) pode ser expresso como

x 1 ( t ) = e - r 1 t σ 1 ( 1 ) c o s ⁡ w 1 t - i ζ 1 ( 1 ) s i n ⁡ v , t

+ e - r 1 t τ 1 ( 2 ) c o s ⁡ w 1 t + i ε 1 ( 2 ) s i n ⁡ w 1 t

+ ζ 1 ( 3 ) e s 3 t + ζ 1 ( 4 ) e s 4 t

Expressões semelhantes podem ser derivadas para x 2 ( t ) .

Resposta

Expressões semelhantes podem ser derivadas para x 2 ( t ) .

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