Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Rao - Vibrações mecânicas- Ed: 4º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 46
Derive as equações de movimento para a vibração livre do sistema mostrado na Figura 5.43. Considerando a solução como , expresse a equação característica na forma
Discuta a natureza das possíveis soluções .
Passo 1
Equações do movimento para livre vibração são (da Eqs.(5.1) e (5.2)):
(E1)
Assumindo a solução como
Eq (E1) pode ser reescrita como
(E2)
Passo 2
Para uma solução não trivial da Eqs (E2)
i.e
(E3)
Essa equação pode ser expressa como
(E4)
Em que pode ser identificada por comparação Eqs (E4) e (E3)
Passo 3
Natureza das possíveis soluções
Se and são as raízes de Eq⋅ (E4), a solução geral do sistema pode ser expressa como
(E5)
Em que as constantes para 4, pode ser encontrada das 4 condições iniciais do sistema, nomeado, e . A razão das amplitudes podem ser determinadas das Eqs. como
(E6)
Se qualquer raiz tiver uma parte real positiva, x1 (t) e x2 (t) irão aumentar com o tempo. Se todos os si tiverem partes reais negativas como
Então a solução, pode ser expressa por
Se duas raízes são conjugados complexos
pode ser expresso como
Expressões semelhantes podem ser derivadas para .
Resposta
Expressões semelhantes podem ser derivadas para .