Enunciado

Derive o espectro de resposta de um sistema não amortecido para o pulso retangular mostrado na Figura 4.39 (a). Construa um gráfico de x / δ s t m a x em relação a t 0 / τ n .

Passo 1

F ( t ) = F 0         ; 0 ⩽ t ≤ t 0 0         ; t > t 0 (E1)

Eq (4.33) dá, para o sistema sem amortecimento

x ( t ) = 1 m ω n ∫ 0 t   F ( τ ) s i n ⁡ ω n ( t - τ ) d τ (E2)

Para 0 ≤ t ≤ t 0 :

x ( t ) = F 0 m ω n ∫ 0 t   s i n ⁡ ω n ( t - τ ) d τ = F 0 k 1 - c o s ⁡ ω n t (E3)

Usando eq E5 na solução do problema 4.27

Para  t > t 0 :

x ( t ) = F 0 m ω n ∫ 0 t 0   s i n ⁡ ω n ( t - τ ) d τ

Usando a relação

∫ 0 t 0   s i n ⁡ ω n ( t - τ ) ⋅ d τ = 1 ω n c o s ⁡ ω n t - t 0 - c o s ⁡ ω n t

A solução pode ser expressa por

x ( t ) = F 0 k c o s ⁡ ω n t - t 0 - c o s ⁡ ω n t (E4)

Passo 2

Resposta espectro

For  0 ≤ t ≤ t 0 ,           x ( t ) = F 0 k 1 - c o s ⁡ ω n t (E5)

d x d t = F 0 ω n k s i n ⁡ ω n t = 0 ⇒ ω n t m a x = π

∴ x m a x = x t = t m a x = F 0 k 1 - c o s ⁡ ω n t m a x = 2 F 0 k (E6)

Para  t > t 0 ,

x ( t ) = F 0 k c o s ⁡ ω n t - t 0 - c o s ⁡ ω n t (E7)

d x d t = - F 0 ω n k s i n ⁡ ω n t - t 0 - s i n ⁡ ω n t = 0

s i n ⁡ ω n t m a x - t 0 = s i n ⁡ ω n t m a x

i-e ,  t a n ⁡ ω n t m a x = s i n ⁡ ω n t 0 c o s ⁡ ω n t 0 - 1 (E8)

i.e.,  s i n ⁡ ω n t m a x = s i n ⁡ ω n t 0 2 1 - c o s ⁡ ω n t 0 (E9)

E c o s ⁡ ω n t m a x = c o s ⁡ ω n t 0 - 1 2 1 - c o s ⁡ ω n t 0 (E10)

∴ x m a x = x t = t m a x = F 0 k c o s ⁡ ω n t m a x ⋅ c o s ⁡ ω n t 0

+ s i n ⁡ ω n t m a x ⋅ s i n ⁡ ω n t 0 - c o s ⁡ ω n t m a x

= F 0 k c o s ⁡ ω n t 0 - 1 2 2 1 - c o s ⁡ ω n t 0 + s i n 2 ⁡ ω n t 0 2 1 - c o s ⁡ ω n t 0 = 2 F 0 k s i n ⁡ ω n t 0 2

Passo 3

Plotagem ω n = 2 π τ n

Para  0 ≤ t ≤ t 0 ,               ω n t m a x = π  ou  t m a x x τ n = 1 2

Quando t ≤ t 0 , t m a x = τ n 2 ≤ t 0

i-e .,  t 0 ε n ≥ 1 2 (E12)

For  t > t 0 , t 0 τ n < 1 2

x m a x δ s t = 2 s i n ⁡ ω n t 0 2 = 2 s i n ⁡ 2 π t 0 2 τ n

∴ x m a x δ s t = 2 s i n ⁡ π t 0 τ n  para  τ 0 τ n < 1 2 (E13)

Equações E12 e E13 são plotadas na figura

Espectro de resposta para um carga tipo pulso retangular

Resposta

Espectro de resposta para um carga tipo pulso retangular

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