Enunciado

Descreva o procedimento do método de diferenças finitas.

Passo 1

Fala galerinha, belezaa???

Então, o método das diferenças finitas é um método para resolver equações de derivação usando uma abordagem de aproximação. Esse método esta associado á equação diferencial governante, às condições de contorno e à substituição pelas equações de diferenças finitas correspondentes.

Passo 2

Existem três tipos de fórmulas que podem ser usadas para derivar o método das diferenças finitas. Esses são métodos de diferença para frente, para trás e central. Portanto, devemos considerar apenas o método da diferença central.

Passo 3

O procedimento do método das diferenças finitas deve ser determinado por:

  1. Substitua o domínio da solução por um número finito de pontos. Esses são chamados de pontos de malha ou grade. As malhas são igualmente espaçadas ao longo de cada malha. A malha divisória da solução de intervalo é apresentada na figura a seguir.
  2. Passo 4

  3. Resolvendo a derivação de n - o r d e m usando a expansão em série de Taylor
  4. x i + 1 = x i + ∆ t ⋅ x i ˙ + ∆ t 2 2 x ¨ i + ∆ t 3 6 x ⃛ i + ∆ t 4 24 d 4 x d t 4                 ( 1 )

    x i - 1 = x i - ∆ t ⋅ x i ˙ + ∆ t 2 2 x ¨ i - ∆ t 3 6 x ⃛ i + ∆ t 4 24 d 4 x d t 4                     ( 2 )

    Ao tomar apenas dois termos e subtrair a equação (2) da equação(1), a primeira derivada de x em t = t i pode ser expressa do seguinte modo:

    d x d t = 1 2 ∆ t x i + 1 - x i - 1                 ( 3 )

    Levando os termos até a segunda derivada e adicionando a equação(1) e a equação (2), a segunda derivada de x em t = t i pode ser expressa do seguinte modo:

    d 2 x d t 2 = 1 ∆ t 2 x i + 1 - 2 x i + x i - 1                 ( 4 )

    Passo 5

  5. Aplicando as fórmulas de derivação na equação de movimento ou outra equação que precise ser resolvida e inicie o cálculo de cada passo

Por exemplo

O governo de um sistema de grau de liberdade fisicamente amortecido é

m d 2 x d t 2 + c d x d t + k x = 0                   ( 5 )

Substituindo as derivadas pela equação (3) e (4), a equação (5) pode ser reescrita como:

m x i + 1 - 2 x i + x i - 1 ∆ t 2 + x i + 1 - x i - 1 2 ∆ t + k x i = 0

Por determinada condição de contorno, a equação pode ser iniciada e resolvida

Resposta

Vide o passo a passo.

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