Enunciado

Usando a expansão em série de Taylor, deduza as formulas de diferença central para as derivadas de primeira e segunda ordens de uma função.

Passo 1

Gaaaaaaalera vem comigo, que no caminho eu explicoooo!!!

Escreveremos a expansão da série de Taylor para o ponto i + 1 que é o t = t i + 1     , seguinte:

x i + 1 = x i + ∆ t ⋅ x i ˙ + ∆ t 2 2 x ¨ i + ∆ t 3 6 x ⃛ i + ∆ t 4 24 d 4 x d t 4                 ( 1 )

Negligencie os termos após a derivada de primeira ordem para obter:

x i + 1 = x i + ∆ t ⋅ x i ˙                     ( 2 )

Escreveremos a expansão da série de Taylor para o ponto i - 1 que é o   t = t i - 1   ,   s e g u i n t e :

x i - 1 = x i - ∆ t ⋅ x i ˙ + ∆ t 2 2 x ¨ i - ∆ t 3 6 x ⃛ i + ∆ t 4 24 d 4 x d t 4                     ( 3 )

Negligencie os termos após a derivada de primeira ordem para obter:

x i - 1 = x i - ∆ t ⋅ x i ˙               ( 4 )

Passo 2

Iremos subtrair a equação (4) da equação (2)

x i + 1 - x i - 1 = x i + ∆ t ⋅ x i ˙ - ( x i - ∆ t ⋅ x i ˙   )

x i + 1 - x i - 1 = 2 ∆ t ⋅ x i ˙  

x i ˙ = 1 2 ∆ t ( x i + 1 - x i - 1 )

Passo 3

Pegue os termos até a segunda derivada na equação (1) para obter a seguinte expressão:

x i + 1 = x i + ∆ t ⋅ x i ˙ + ∆ t 2 2 x ¨ i

Pegue os termos até a segunda derivada na equação (1) para obter a seguinte expressão:

x i - 1 = x i - ∆ t ⋅ x i ˙ + ∆ t 2 2 x ¨ i

Adicione as expressões acima para x i + 1   e   x i - 1

x i + 1 - x i - 1 = x i + ∆ t ⋅ x i ˙ + ∆ t 2 2 x ¨ i + x i - ∆ t ⋅ x i ˙ + ∆ t 2 2 x ¨ i

x i + 1 - x i - 1 = 2 x i + ∆ t 2 x i ¨

x i ¨ = 1 ∆ t 2 ( x i + 1 - 2 x i + x i - 1 )

Assim, a segunda derivada de x em t = t i   é dada por

x i ¨ = 1 ∆ t 2 ( x i + 1 - 2 x i + x i - 1 )

Resposta

Vide o passo a passo.

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