Enunciado

Determinar a reação em A e desenhar o diagrama de momento fletor para a viga com o carregamento mostrado.

Obs: determinação do ângulo em A e B para o caso 1

Passo 1

Fala galera, essa questão vai ter algo novo, pois com dois engastes, vamos precisar quebrar dois vínculos, e isso significa que vamos ter que dividir a nossa viga original hiperestática em 3 vigas isostáticas. Uma com o carregamento original, e duas com os vínculos quebrados como carregamento, desse modo, teremos que:

Agora pensa no seguinte, aqui vamos ter 4 passos a executar, para essa primeira parte temos que determinar o ângulo em A e B para o caso 1. Depois temos que determinar o ângulo em A e B para a viga 2 na parte 2. E por fim, determinamos o ângulo para A e B no caso 3 na parte 3. A ultima parte vai ser exatamente lembrarmos que a soma doa ângulos em A tem que ser zero, porque temos ali um engaste, e em B funciona do mesmo modo, beleza? Então chega de ladainha e vamos lá.

Passo 2

Vamos começar para o caso 1, e para isso precisamos das reações de apoio, então assim, vamos ter que:

∑ M B = 0

V A a + b - M 0 = 0

V A = M 0 a + b

∑ F V = 0

- V A + V B = 0

M 0 a + b + V B = 0

V B = M 0 a + b

Agora perceba o seguinte, suponha que ao invés de termos os apoios em A e B, vamos supor que eles são cargas aplicadas na nossa viga, e que no caso no ponto B temos um engaste, então basta desenharmos o diagrama de cada carga com relação ao ponto B, assim, teremos que:

E sabemos que devemos dividir o nosso diagrama por E I , referente a cada uma das barras, e assim teremos que:

Passo 3

Agora, pensa no seguinte, como eu disse, quando tínhamos cargas simétricas, poderíamos considerar um ponto em que sabíamos que a deflexão era zero, porém, agora não sabemos mais onde temos essa deflexão, vamos partir direto para o que sabemos, que nesse caso é a deformação, e como a deformação vai nos ajudar a determinar a declividade? Muito simples, podemos determinar a deformação de B com relação a A da seguinte maneira:

θ B / A = θ B - θ A

E pensa no seguinte, queremos saber quanto vale o ângulo em A, certo? Vamos isolar o ângulo:

θ A = θ B - θ B / A

E se multiplicarmos tudo por (a+b), obtemos exatamente as deformações, mas perceba que a do ângulo A eu não irei modificar.

( a + b ) θ A = ( a + b ) θ B - ( a + b ) θ B / A

( a + b ) θ A = y B - y B / A

E sabemos que a deformação em B é zero, assim temos que:

θ A = - y B / A ( a + b )

E para determinarmos a deformação y B / A precisamos de todas as áreas entre A e B e das distâncias desses centroides ATÉ B, bem importante lembrar que sempre determinamos a distância com relação ao primeiro termo do subscrito B / A . Dividindo o nosso diagrama em áreas mais simples temos que:

A 1 = M 0 E I × ( a + b ) × 1 2 = M 0 ( a + b ) 2 E I

A 2 = - M 0 E I × b = - M 0 b E I  

E além das áreas precisamos da distância de cada centroide até o nosso ponto B, assim teremos que:

Assim podemos definir que:

y B / A = A 1 y 1 + A 2 y 2

y B / A = M 0 ( a + b ) 2 E I × ( a + b ) 3 - M 0 b E I × b 2

y B / A = M 0 a + b 2 6 E I - M 0 b 2 2 E I

y B / A = M 0 ( a 2 + 2 a b + b 2 ) 6 E I - 3 M 0 b 2 6 E I

y B / A = M 0 a 2 + 2 M 0 a b + M 0 b 2 - 3 M 0 b 2   6 E I

y B / A = M 0 a 2 + 2 M 0 a b - 2 M 0 b 2   6 E I

Mas lembre-se que o objetivo é o ângulo A, com isso teremos que:

θ A = - y B A a + b = - M 0 a 2 + 2 M 0 a b - 2 M 0 b 2   6 E I a + b = - M 0 a 2 - 2 M 0 a b + 2 M 0 b 2   6 E I a + b

Passo 4

Porém, lembre-se que o nosso objetivo é determinar os dois ângulos dessa viga nessa primeira parte, assim, como já definimos o ângulo A, vamos para o ângulo B, e aqui é muito simples, baste pensarmos, qual a relação do ângulo A com o ângulo B? podemos usar a seguinte equação.

θ A / B = θ A - θ B

E pensa no seguinte, queremos saber quanto vale o ângulo em B, certo? Vamos isolar o ângulo:

θ B = θ A - θ A / B

E se multiplicarmos tudo por (a+b), obtemos exatamente as deformações, mas perceba que a do ângulo B eu não irei modificar.

( a + b ) θ B = ( a + b ) θ A - ( a + b ) θ A / B

( a + b ) θ B = y A - y A / B

E sabemos que a deformação em A é zero, assim temos que:

θ B = - y A / B ( a + b )

E para determinarmos a deformação y A / B precisamos de todas as áreas entre A e B e das distâncias desses centroides ATÉ A, bem importante lembrar que sempre determinamos a distância com relação ao primeiro termo do subscrito A / B . Dividindo o nosso diagrama em áreas mais simples temos que:

A 1 = M 0 E I × ( a + b ) × 1 2 = M 0 ( a + b ) 2 E I

A 2 = - M 0 E I × b = - M 0 b E I  

E além das áreas precisamos da distância de cada centroide até o nosso ponto A, assim teremos que:

Assim podemos definir que:

y A / B = A 1 y 1 + A 2 y 2

y A / B = M 0 ( a + b ) 2 E I × 2 a + b 3 - M 0 b E I × a + b 2

y A / B = M 0 a + b 2 3 E I - M 0 b E I × 2 a + b 2

y A / B = M 0 a + b 2 3 E I - M 0 b ( 2 a + b ) 2 E I

y A / B = 2 M 0 a 2 + 2 a b + b 2 6 E I - 3 M 0 ( 2 a b + b 2 ) 6 E I

Simplificando:

y A / B = 2 M 0 a 2 + 4 M 0 a b + 2 M 0 b 2 6 E I - 6 M 0 a b + 3 M 0 b 2 6 E I

y A / B = 2 M 0 a 2 + 4 M 0 a b - 6 M 0 a b + 2 M 0 b 2 - 3 M 0 b 2 6 E I

y A / B = 2 M 0 a 2 - 2 M 0 a b - 1 M 0 b 2 6 E I

Mas lembre-se que o objetivo é o ângulo B, com isso teremos que:

θ B = - y A B ( a + b ) = - 2 M 0 a 2 - 2 M 0 a b - 1 M 0 b 2 6 E I ( a + b ) = - 2 M 0 a 2 + 2 M 0 a b + 1 M 0 b 2 6 E I ( a + b )

Resposta

θ A = - M 0 a 2 - 2 M 0 a b + 2 M 0 b 2   6 E I a + b

θ B = - 2 M 0 a 2 + 2 M 0 a b + 1 M 0 b 2 6 E I ( a + b )

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