Enunciado

Uma placa rígida com 100 l b de peso é articulada ao longo de uma borda ( P ) e apoiada sobre um amortecedor de mola com c = 1 l b / s / in na borda oposta ( Q ) , como mostra a Figura 3.58 . Um pequeno exaustor com 50 l b de peso, que gira a 750 rpmé montado sobre a placa por meio de uma mola com k = 200 l b / in. Se o centro de gravidade do exaustor estiver localizado a 0,1 in de seu eixo de rotação, determine o movimento em regime permanente da borda Q e a força transmitida ao ponto S .

Passo 1

Peso da placa 500 N, Dashpot C = 200 N-s / m

Peso do ventilador 200 N, girando a 750 rpm, Mola k = 40kN / m

O centro de gravidade do ventilador é de 3 mm de deslocamento do eixo de rotação.

Passo 2

Solução

ω n , f a n = k m f a n = 40 × 10 3 200 / 9.8 = 44.2719 r a d / s e c

ω = 2 π ( 750 ) 60 = 78.54 r a d / s e c

J p plate  + f a n = 1 3 500 9.8 ( 1 ) 2 + 200 9.8 ( 0.125 ) 2 = 17.3257 k g ⋅ m 2

F 0 = m e ω 2 = 200 9.8 ( 0.003 ) ( 78.54 ) 2 = 377.6652 N

Passo 3

O ponto R está sujeito à força F ( t ) = F 0 c o s ⁡ ω t = 377.6652 c o s ⁡ 78.54 t ( N )

Suponha que S não esteja se movendo. Então R é deslocado por

x ( t ) = F 0 c o s ⁡ ω t k - m ω 2 = F 0 c o s ⁡ ω t k 1 - ω ω n 2 = 377.6652 c o s ⁡ ω t 40 × 10 3 1 - 78.54 44.2719 2

= 0.004397 c o s ⁡ 78.54 t ( m )

Passo 4

θ = deslocamento angular da placa PQ. Deslocamento de S = 0.125 θ m Extensão da mola R S = ( 0.125 θ - 0.004397 c o s ⁡ 78.54 t ) m Restaurando o momento da força da mola sobre P = 40 × 10 3 ( 0.125 θ - 0.004397 c o s ⁡ 78.54 t ) ( 0.125 ) N ⋅ m Velocidade de Q = ( 1) θ = θ ( m / s ) Força de amortecimento em Q = θ ( 200 ) = 200 θ ( N )

Momento da força de amortecimento em P = ( 200 θ ˙ ) ( 1 ) = 200 θ ( N - m ) Equação do movimento da placa PQ:

J p θ ¨ + 200 θ + 5000 ( 0.125 θ - 0.004397 c o s ⁡ 78.54 t ) = 0

i.e.  17.3257 θ + 200 θ + 625 θ = 21.985 c o s ⁡ 78.54 t (E1)

Comparando E1 com Eq 3.24

θ p ( t ) = Θ c o s ⁡ ( ω t - ϕ )

Em que das Eqs 3.30 e 3.31, temos

Θ = ( 21.985 / 625 ) ( 1 - 170.9986 ) 2 + ( 2 × 0.9610 × 13.0766 ) 2

= 2.0470 × 10 - 4 ( r a d )

ϕ = t a n - 1 ⁡ 25.1333 - 169.9986 = - 8.4010 ∘

Passo 5

Estado estacionário do movimento de θ = θ p ( 1 )

= 2.0470 × 10 - 4 c o s ⁡ 78.54 t + 8.4010 ∘ ( m )

Deslocamento de S = Θ ( 0.125 ) = 2.5588 × 10 - 5 ( m )

D 2 D 3 =  máxima deformação da mola   ≈ 0.004397 m

Força máxima transmitida ao ponto   S = k D 2 D 3 = 40 × 10 3 ( 0.004397 ) = 175.88 N

Resposta

175.88 N

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