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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Rao - Vibrações mecânicas- Ed: 4º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 47

Determine os deslocamentos x 1 ( t ) e x 2 ( t ) na Figura 5.43 para m 1 = 1   k g , m 2 = 2   k g , k 1 = k 2 = k 3 = 10.000   N / m e c 1 = c 2 = c 3 = 2.000   N . s / m usando as condiçöes iniciais x 1 ( 0 ) = 0,2   m , x 2 ( 0 ) = 0,1   m e x ˙ 1 ( 0 ) = x ˙ 2 ( 0 ) = 0

Passo 1

Dados conhecidos

m 1 = m 2 = 10 k g , k 1 = k 2 = 2000 N / m , k 3 = 2 N / m

c 1 = 100 N - s / m , c 2 = c 3 = 1 N - s / m

x 1 ( 0 ) = 0.2 m , x 2 ( 0 ) = 0.1 m , x ˙ 1 ( 0 ) = x ˙ 2 ( 0 ) = 0

Eqs (E3) e (E4) da solução do problema 5.46 dá

a 0 = m 1 m 2 = 100

a 1 = 10 ( 2 ) + 10 ( 101 ) = 1030

a 2 = 10 ( 2002 ) + 101 ( 2 ) + 10 ( 4000 ) - 1 = 602 21

a 3 = 101 ( 2002 ) + 2 ( 4000 ) - 2 ( 1 ) ( 2000 ) = 206202

a 4 = 4000 ( 2002 ) - 4 × 10 6 = 4008000

E 100 s 4 + 1030 s 3 + 60221 s 2 + 2062028 + 4008000 = 0 E 1

Passo 2

Usando PROGRAM 10, as raízes da eq(E1) pode ser encontrada por

s 1,2 = - 1.4714 ± i 8.8272 (E2)

s 3,4 = - 3.6786 ± i 22.0668 (E3)

Então a solução é dada por

x 1 ( t ) = ∑ j = 1 4   ζ 1 ( j ) e s j t , x 2 ( t ) = ∑ j = 1 4   ζ 2 ( j ) e s j t (E4, E5)

Em que ζ → 1 ( j ) , j ˙ = 1,2 , 3,4 , pode ser encontrado a partir das condições iniciais e a razão das amplitudes ζ 1 ( j ) ζ 2 ( j ) pode ser obtida a partir de E q ⋅ E 6 no problema 5.46:

ζ 1 ( j ) ζ 2 ( j ) = c 2 s j + k 2 m 1 s j 2 + c 1 + c 2 s j + k 1 + k 2 = s j + 2000 10 s j 2 + 101 s j + 4000

j = 1,2 , 3,4 (E6)

j = 1 , s 1 = - 1.4714 + i 8.8272   e   E 6   d á

α 1 = ζ 1 ( 1 ) / ζ 2 ( 1 ) = 0.6207 - : 0.1239 (E7)

Para j = 2 , s 2 = - 1.4714 - i 8.8272   e   E 6   d á

α 2 = ζ 1 ( 2 ) / ζ 6 2 ( 2 ) = 0.6207 + i 0.1239 (E8)

Para j = 3 , s 3 = - 3.6786 + i 22.0668   e   E 6   r e n d e

α 3 = ζ 1 ( 3 ) / ζ 2 ( 3 ) = - 1.3808 - i 0.7758 (E9)

Para j = 4 , s 4 = - 3.6786 - i 22.0668   e   E 6   r e n d e

α 4 = ζ 1 ( 4 ) / ζ 2 ( 4 ) = - 1.3808 + i 0.7758 (E10)

Passo 3

Essa é a solução das Eqs(E4) e (E5) pode ser reescrita como

x 1 t = ∑ j = 1 4   α j ζ 2 j e s j t ,     x 2 t = ∑ j = 1 4   α j e s j t           E 11 , E 12

Desde os pares α 1 , α 2 , α 3 , α 4 , s 1 , s 2 e s 3 , s 4 são conjugados complexos, podemos expressar como

α 1 , α 2 = p 1 ± i q 1 ; α 3 , α 4 = p 2 ± i q 2   s 1 , s 2 = u 1 ± i v 1 ; s 3 , s 4 = u 2 ± i v 2   } (E13)

e E 11 e E 12 pode ser simplificada. No entanto, procederemos como E 11 e E 12 e use as condições iniciais para avaliar as constantes ζ 2 ( j ) ; j = 1,2 , 3,4

(E14)

x 1 ( 0 ) = α 1 ζ 2 ( 1 ) + α 2 ζ 2 ( 2 ) + α 3 ζ 2 ( 3 ) + α 4 ζ 2 ( 4 ) = 0.2

x 2 ( 0 ) = ζ 2 ( 1 ) + ζ 2 ( 2 ) + ζ + ζ = 0.1

x ˙ 1 ( 0 ) = s 1 α 1 ζ 2 ( 1 ) + s 2 α 2 ζ 2 ( 2 ) + s 3 α 3 ζ 2 ( 3 ) + s 4 s 4 ζ 2 ( 4 ) = 0

x ˙ 2 ( 0 ) = s 1 ζ 2 ( 1 ) + s 2 ζ 2 ( 2 ) + s 3 ζ 2 ( 3 ) + s 4 ζ 2 ( 4 ) = 0

Uma vez que ζ 2 ( j ) , j = 1,2 , 3,4 são determinados a partir de Eqs. E 14 , os deslocamentos das massa x 1 ( t ) e x 2 ( t ) pode ser obtido usando Eqs. E 11 e E 12 .

Se s = a + i b , s 2 = a 2 - b 2 + i ( 2 a b )

Se x = a + b i c + d i , pode ser reescrita como

x = ( a + b i ) ( c - d i ) c 2 + d 2 = a c + b d c 2 + d 2 + i b c - a d c 2 + d 2

Resposta

x = ( a + b i ) ( c - d i ) c 2 + d 2 = a c + b d c 2 + d 2 + i b c - a d c 2 + d 2

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