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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Rao - Vibrações mecânicas- Ed: 4º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 29

Determine as frequências naturais do sistema mostrado na Figura 5.29 supondo que o cabo que passa sobre o cilindro não deslize.

Passo 1

Equação do movimento da massa m x ¨ = - k 2 ( x - r θ ) … E 1

Equação do movimento da massa do cilindro mo e a massa do momento de inércia J 0 = 1 2 m 0 r 2

σ 0 θ ¨ = - k 1 r 2 θ - k 2 ( r θ - x ) r ⋯ E 2

Passo 2

Para x ( t ) = x c o s ⁡ ( ω t + ϕ ) e θ ( t ) = Θ c o s ⁡ ( ω t + ϕ ) , Eq (E1) e (E2) dá a equação da frequência

- m ω 2 + k 2   - k 2 r   - k 2 r   - 1 2 m 0 r 2 ω 2 + k 1 r 2 + k 2 r 2   = 0

i.e ω 4 - ω 2 k 2 m + 2 k 1 + k 2 m 0 + 2 k 1 k 2 m 0 m = 0

ω 1 2 , ω 2 2 = k 2 2 m + k 1 + k 2 m 0 ∓ 1 4 k 2 m + 2 k 1 m 0 + 2 k 2 m 0 2 - 2 k 1 k 2 m m 0

Resposta

ω 1 2 , ω 2 2 = k 2 2 m + k 1 + k 2 m 0 ∓ 1 4 k 2 m + 2 k 1 m 0 + 2 k 2 m 0 2 - 2 k 1 k 2 m m 0

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