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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Rao - Vibrações mecânicas- Ed: 4º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 64

Determine a frequência fundamental de vibracão longitudinal da barra cônica mostrada na Figura 8.35, usando o método de Rayleigh com a forma:

W x = c 0 sen ⁡ π x 2 l

Passo 1

E aí, meus camaradas!

Bom! Bora lá pro que interessa! É o mesmo esqueminha galera

Sabemos que a equação de solução da viga, é dada por...

W x = c 0 sen ⁡ π x 2 l

Ih rapaz! Essa é de boas! Já pegamos essa equação antes!

Vamos então, como é de prache, tirar a primeira e a segunda derivadas disso...

Dessa forma;

d W d x = c 0 π 2 l ⋅ cos ⁡ π x 2 l

d W d x = c 0 π 2 l ⋅ cos ⁡ π x 2 l

d 2 W d x 2 = - c 0 π 2 4 l 2 ⋅ sen ⁡ π x 2 l

Passo 2

E pra calcular a frequência natural... A gente já tá careca de saber que tem que usar a fórmula abaixo...

ω n 2 = N D

Onde N e D são duas constantes dadas por...

N = ∫ 0 l E I d 2 w d x 2 2 d x

D = ∫ 0 l ρ A w ( x ) 2 d x

Passo 3

Agora é só calcular...

N = ∫ 0 l E I d 2 w d x 2 2 d x =

= E I ∫ 0 l c 0 2 π l 2 cos ⁡ 2 π x l 2 d x = 4 π 2 c 0 2 E I l 2 ∫ 0 l cos 2 ⁡ 2 π x l d x =

= 16 π 4 c 0 2 E I l 4 ∫ 0 l cos 2 ⁡ 2 π x l d x = 16 π 4 c 0 2 E I l 4 ∫ 0 l 1 - cos ⁡ 4 π x l 2 d x =

= 16 π 4 c 0 2 E I l 4 ⋅ 1 2 x + 1 4 π l sen ⁡ 4 π x l 0 l = 16 π 4 c 0 2 E I l 4 ⋅ l 2 =

= 7 π 4 c 0 2 E I l 3

D = ∫ 0 l ρ A w ( x ) 2 d x =

= ∫ 0 l ρ A c 0 1 - cos ⁡ 2 π x l 2 d x = c 0 2 ρ A ∫ 0 l 1 - cos ⁡ 2 π x l 2 d x =

= c 0 2 ρ A ∫ 0 l 1 - 2 cos ⁡ 2 π x l + cos 2 ⁡ 2 π x l d x =

= c 0 2 ρ A ⋅ x - 2 sen ⁡ 2 π x l 2 π l + 1 - cos ⁡ 4 π x l 2 0 l =

= 3 c 0 2 ρ A l 2

E depois, substituir...

ω n 2 = N D

ω n 2 = 7 π 4 c 0 2 E I l 3 3 c 0 2 ρ A l 2 = 14 π 4 E I 3 c 0 2 ρ A l 4

Tirando a raiz...

ω n = 14 π 4 E I 3 c 0 2 ρ A l 4 = 2,16 E I ρ A l 4

Voilá! Obtemos a nossa resposta!

Resposta

ω n = 2,16 E I ρ A l 4

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