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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Rao - Vibrações mecânicas- Ed: 4º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 33

Determine as frequências naturais e os coeficientes de amplitude do sistema mostrado na Figura 5.31.

Passo 1

Para pequenas deflexões angulares, equações de movimento são

m 1 l 1 2 θ ¨ 1 = - w 1 l 1 s i n ⁡ θ 1 + k l 2 θ 2 - l 1 θ 1 l 1 c o s ⁡ θ 1

m 2 l 2 2 e ¨ 2 = - w 2 l 2 s i n ⁡ θ 2 - k l 2 θ 2 - l 1 θ 1 l 2 c o s ⁡ θ 2

Ou m 1 l 1 2 θ ¨ 1 + θ 1 w 1 l 1 + k l 1 2 - * l 1 l 2 θ 2 = 0

m 2 l 2 2 θ ¨ 2 + θ 2 w 2 l 2 + k l 2 2 - k l 1 l 2 θ 1 = 0

Passo 2

Para movimento harmônico θ i ( t ) = θ i c o s ⁡ ( ω t + ϕ ) ; i = 1,2 , temos

- ω 2 m 1 l 1 2 + w 1 l 1 + k l 1 2   - k l 1 l 2   - k l 1 l 2   - ω 2 m 2 l 2 2 + w 2 l 2 + k l 2 2   θ 1   θ 2   = 0   0  

Equação da frequência é

ω 4 m 1 m 2 l 1 2 l 2 2 - ω 2 m 2 l 2 2 w 1 l 1 + k l 1 2 + m 1 l 1 2 w 2 l 2 + k l 2 2

+ w 1 l 1 w 2 l 2 + w 2 l 2 k l 1 2 + w 1 l 1 k l 2 2 = 0 … E 1

Raízes dessa equação dão a frequência natural ω 1   e   ω 2 .

Razão da amplitude são dadas por

r 1 = θ 2 ( 1 ) θ 1 ( 1 ) = - ω 1 2 m 1 l 1 2 + w 1 l 1 + k l 1 2 k l , l 2

r 2 = θ 2 ( 2 ) θ 1 ( 2 ) = - ω 2 2 m 1 l 1 2 + w 1 l 1 + k l 1 2 * l 1 l 2

Em que w 1 = m 1 g ,

w 2 = m 2 g

Resposta

w 1 = m 1 g ,

w 2 = m 2 g

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