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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Rao - Vibrações mecânicas- Ed: 4º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 58

A matriz de massa e a matriz de rigidez de uma barra uniforme são:

m = ρ A l 4 1           0           0 0           2             0 0           0             1

k = 2 A E l 1         - 1           0 - 1           2     - 1 0         - 1             1

Onde ρ é a densidade, A é a área da seção transversal, E é o módulo de Young e l é o comprimento da barra. Determine as frequências naturais do sistema determinando as raízes da equação característica. Determine também os modos principais.

Passo 1

Falaaa meus amigos! Como vocês estão? Vamos pra mais uma questãozinha desse assunto?

Bom, pra esses dados e esse sistema, teremos as seguintes equações de movimento:

ρ A l 4 1           0           0 0           2             0 0           0             1 x 1 ¨ x 2 x 3 ¨ ¨ + 2 A E l 1         - 1           0 - 1           2     - 1 0         - 1             1 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Para um movimento harmônico, isso resulta em:

- ω 2 ρ A l 4 + 2 A E l             - 2 A E l                     0 - 2 A E l       - 2 ω 2 ρ A l 4 + 4 A E l         - 2 A E l 0                                 - 2 A E l               - ω 2 ρ A l 4 + 2 A E l x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Consequentemente, as equações de frequência, com α = ω 2 ρ A l 8 A E e dividindo por 2 A E l são:

- α + 1                     - 1                               0 - 1                 - 2 α + 2               - 1 0                                 - 1               - α + 1 = 2 α - α + 1 α - 2 = 0

Dada essa última equação, nós podemos extrair as seguintes raízes:

α 1 = 0 → ω 1 = 0

α 2 = 1 → ω 2 = 1 8 A E / ρ A l 2

α 3 = 2 → ω 3 = 1 16 A E / ρ A l 2

Passo 2

Colocando na forma modal de modo j t h , a equação de movimento harmônico nos dá que:

x 2 j x 1 j = - α j + 1

x 3 j x 1 j = - 1 + - 2 α j + 2 - α j + 1 = 2 - α j + 1 2 - 1

Para tanto, nós temos que:

x j → = x 1 j x 2 j x 3 j = x i j 1 - α j + 1 2 - α j + 1 2 - 1

Ou seja:

x ( 1 ) → = x 1 ( 1 ) 1 1 1 ,       x ( 2 ) → = x 1 ( 2 ) 1 0 - 1 ,         x ( 3 ) → = x 1 ( 3 ) 1 - 1 1

Resposta

α 1 = 0 → ω 1 = 0

α 2 = 1 → ω 2 = 1 8 A E / ρ A l 2

α 3 = 2 → ω 3 = 1 16 A E / ρ A l 2

x ( 1 ) → = x 1 ( 1 ) 1 1 1 ,       x ( 2 ) → = x 1 ( 2 ) 1 0 - 1 ,         x ( 3 ) → = x 1 ( 3 ) 1 - 1 1

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