Enunciado

Determine as frequências naturais do sistema considerado no Problema 6.23 com m 1 = 2 m ,   m 2 = m ,   m 3 = 3 m   e   l 1 = l 2 = l 3 = l 4 = l .

Passo 1

Falaaa pessoal! Prontos pra mais uma? Bora láa!

Bom, nessa questão podemos usar a ideia que foi usada no problema 6.23, que com os dados que foram pedidos nesse enunciado, vão resultar nos seguintes elementos para a matriz de flexibilidade:

a 11 = 1 P 1 l + 1 3 l = 3 l 4 P ,       a 21 = 2 3 a 11 = 1 4 l P

a 22 = 1 P 1 2 l + 1 2 l = l 4 P ,       a 32 = 1 2 a 22 = 1 2 l P

a 33 = 1 P 1 3 l + 1 l = 3 4 l P

As matrizes de massa e flexibilidade vão ser:

a = l 4 P 3         2         1 2         4         2 1         2         3 ,   m = m 2         0           0 0           1           0 0             0             3

a m = 6         2           3 4             4           6 2           2           9

A equações de movimento vão se dar por:

a m x → ¨ + I x → = 0 →

A equação de frequência vai ser:

- a m ω 2 + [ I ] = 0

Passo 2

Juntando essa última equação com as matrizes que a gente já conhece, teremos que:

- ω 2 l m 4 P 6             2             3 4             4             6 2             2             9 + 1           0           0 0           1           0 0             0             1 = 0

Sabendo que α = ω 2 l m 4 P , nós temos que:

96 α 3 - 88 α 2 + 19 α - 1 = 0

As raízes dessa equação serão:

α 1 = 0,079126 → ω 1 = 0,562587 k / m

α 2 = 0,209671 → ω 2 = 0,915797 k / m

α 3 = 0,627872 → ω 3 = 1,584767 k / m

Resposta

α 1 = 0,079126 → ω 1 = 0,562587 k / m

α 2 = 0,209671 → ω 2 = 0,915797 k / m

α 3 = 0,627872 → ω 3 = 1,584767 k / m

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