Enunciado

Um sistema torcional consiste em um eixo com um disco de momento de inercia de massa I 0 montado em seu centro. Se ambas as extremidades do eixo forem fixas, determine a resposta do sistema em vibração livre torcional do eixo. Considere que o deslocamento angular inicial disco seja zero e que sua velocidade inicial seja θ ˙ 0 .

Passo 1

E aí, galerinha!

Bom! Bora lá pro que interessa!

Vamos começar fazendo um esboço do nosso sistema pra entender ele um pouco melhor...

Passo 2

Pois muito bem! Para um sistema torcional, temos a seguinte equação...

θ x , t = A cos ⁡ ω x c + B sen ⁡ ω x c ( C cos ⁡ ω t + D sen ⁡ ω t )

E como podemos ver pela nossa figura, onde ambas as extremidades estão fixas... Em x = 0 , temos que...

θ x = 0 , t = 0

Logo, substituindo x = 0 na equação de θ ( x , t ) :

A cos ⁡ ω x c + B sen ⁡ ω x c C cos ⁡ ω t + D sen ⁡ ω t = 0

A cos ⁡ ω ⋅ 0 c + B sen ⁡ ω ⋅ 0 c C cos ⁡ ω t + D sen ⁡ ω t = 0

A C cos ⁡ ω t + D sen ⁡ ω t = 0

A melhor chance disso aí dar zero é quando...

A = 0

Passo 3

Temos também a seguinte equação...

G J   ∂ θ ∂ x l 2 , t = - J 0 2   ∂ 2 θ ∂ t 2 l 2 , t

G J ω c ⋅ B cos ⁡ ω l 2 c = J 0 ω 2 2 ⋅ B sen ⁡ ω l 2 c

Uma vez que seno dividido pelo cosseno é a tangente...

sen ⁡ ω l 2 c cos ⁡ ω l 2 c = G J ω c ⋅ B J 0 ω 2 2 ⋅ B

tan ⁡ ω l 2 c = 2 G J J 0 ω c = 2 c ω l ⋅ G J l J 0 c 2

Baseado na equação de frequência...

α tan ⁡ α = β

Sendo que...

α = ω l 2 c

β = G J l J 0 c 2

Se as raízes da equação de frequência são dadas por...

ω n = 2 α n c l

Então, baseando na equação para θ ( x , t ) ...

θ x , t = ∑ n = 1 ∞ sen ⁡ ω n x c ( C n cos ⁡ ω n t + D n sen ⁡ ω n t )

Como sabemos que θ x , t = 0 = 0 , então...

θ x , 0 = ∑ n = 1 ∞ sen ⁡ ω n x c C n cos ⁡ ω n t + D n sen ⁡ ω n t = 0

∑ n = 1 ∞ sen ⁡ ω n x c C n cos ⁡ ω n 0 + D n sen ⁡ ω n 0 = 0

C n = 0

Ficamos então, com...

∑ n = 1 ∞ sen ⁡ ω n x c ω n D n     ( i )

Derivando θ ( x , 0 ) ...

θ ˙ x , 0 = ∑ n = 1 ∞ sen ⁡ ω n x c ω n D n = 2 θ ˙ 0 x l     ( i i )

Multiplicando ( i ) e ( i i ) por sen ⁡ ω n x c e integrando de 0 até π c 2 ω n :

ω n D n ∫ 0 π c 2 ω n sen 2 ⁡ ω n x c d x = 2 θ ˙ 0 l ∫ 0 π c 2 ω n x sen ⁡ ω n x c d x

Obtemos que...

D n = 8 c θ ˙ 0 π l ω n 2

E ficamos então, com a seguinte equação...

θ ( x , t ) = ∑ n = 1 ∞ 8 c θ ˙ 0 π l ω n 2 sen ⁡ ω n x c ⋅ sen ⁡ ω n t

Resposta

θ ( x , t ) = ∑ n = 1 ∞ 8 c θ ˙ 0 π l ω n 2 sen ⁡ ω n x c ⋅ sen ⁡ ω n t

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