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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 21.Problemas - Ex. 5

Determine por integração direta o produto de inércia I x y para o prisma homogêneo. A densidade do material é ρ . Expresse o resultado em termos da massa total m do prisma.

Passo 1

Nota-se que a massa infinitesimal do prisma homogêneo d m , é tal que pode ser escrita como:

d m = ρ d V = ρ h x d y = ρ h a - y d y

A massa m , será:

m = ∫ m d m = ρ h ∫ 0 a ( a - y ) d y = ρ a 2 h 2

Passo 2

Fazendo uso do teorema dos eixos paralelos entre os eixos x e y e os eixos x’ e y’ que passam pelo centro de gravidade do prisma homogêneo , temos que o momento de inércia para o elemento diferencial d I x y será:

d I x y = d I x ' y ' + d m x G y G = 0 + ( ρ h x d y ) x 2 ( y )

d I x y = ρ h 2 2 x 2 y d y = ρ h 2 2 y 3 - 2 a y 2 + a 2 y d y

Passo 3

O momento de inércia I x y é obtido integrando-se   d I x y , de modo que:

I x y = ρ h 2 2 ∫ 0 a y 3 - 2 a y 2 + a 2 y d y = ρ a 4 h 24 = 1 12 ρ a 2 h 2 a 2

Portanto:

I y z = m 12 a 2

Resposta

De acordo com os passos 1,2 e 3 o produto de inércia I x y para o prisma homogêneo expresso em termos da massa total m , será:

I y z = m 12 a 2

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