Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 21.Problemas - Ex. 6
Determine por integração direta o produto de inércia para o tetraedro homogêneo. A densidade do material é . Expresse o resultado em termos da massa total do sólido. Sugestão: use um elemento triangular de espessura e em seguida expresse em termos da dimensão e da massa do elemento usando o resultado do Problema 21.5.
Passo 1
Nota-se que a massa infinitesimal do tetraedro homogêneo , é tal que pode ser escrita como:
A massa , será:
Passo 2
Fazendo uso da sugestão exposta no comando da questão têm-se que de acordo com o Problema 21.5 , o produto de inércia de um prisma triangular homogêneo em relação aos planos xz e yz é :
Logo para o tetraedro homogêneo o elemento diferencial será dado por :
Passo 3
O momento de inércia para o tetraedro é obtido integrando-se , de modo que:
Portanto:
Resposta
De acordo com os passos 1,2 e 3 o momento de inércia do tetraedro homogêneo obtido por integração direta e dado em termos de é :