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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 21.Problemas - Ex. 6

Determine por integração direta o produto de inércia I x y para o tetraedro homogêneo. A densidade do material é ρ . Expresse o resultado em termos da massa total m do sólido. Sugestão: use um elemento triangular de espessura d z e em seguida expresse d I x y em termos da dimensão e da massa do elemento usando o resultado do Problema 21.5.

Passo 1

Nota-se que a massa infinitesimal do tetraedro homogêneo   d m , é tal que pode ser escrita como:

d m = ρ d V = ρ 1 2 a - z a - z d z = ρ 2 a - z 2 d z

A massa m , será:

m = ∫ m d m = ρ 2 ∫ 0 a a - z 2 d z = ρ a 3 6

Passo 2

Fazendo uso da sugestão exposta no comando da questão têm-se que de acordo com o Problema 21.5 , o produto de inércia de um prisma triangular homogêneo em relação aos planos xz e yz é :

I x y = ρ a 4 h 24

Logo para o tetraedro homogêneo o elemento diferencial d I x y será dado por :

d I x y = ρ d z 24 ( a - z ) 4

Passo 3

O momento de inércia I x y para o tetraedro é obtido integrando-se   d I x y , de modo que:

I x y = ρ 24 ∫ 0 a a 4 - 4 a 3 z + 6 a 2 z 2 - 4 a z 3 + z 4 d z = ρ a 5 120

Portanto:

I x y = m a 2 20

Resposta

De acordo com os passos 1,2 e 3 o momento de inércia do tetraedro homogêneo obtido por integração direta e dado em termos de m é :

I x y = m a 2 20

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