44. Determine a intensidade e o sentido da força P → necessários para manter o sistema de força concorrente em equilíbrio.

Passo 1

Para que o sistema de força esteja em equilíbrio é necessário que as força resultante seja zero. Logo:

∑ F → = 0

Então a soma de todas as forças na forma vetorial tem que ser zero.

Então teremos que passar as forças para forma vetorial. Para a força F 3 não iremos precisar fazer isso já que ela tem a mesma direção de um dos eixos coordenados, logo a forma vetorial dela é imediato.

Para transforma a força F 2 , basta multiplicá-la pelo vetor unitário que tem a mesma direção da força, e podemos obtê-lo pelo vetor dado na figura.

A força F 1 , basta multiplicá-la pelo cosseno dos ângulos que a força faz com cada eixo, nisso iremos obter cada componente.

Aí para realizarmos o último pedido do enunciado, nós construirmos um vetor unitário na mesma direção dessa força P da seguinte maneira:

u → = F → | F → | = F i F + F j F + F k F

E depois temos que cada componente representa o cosseno do ângulo diretor referente a direção da componente.

Passo 2

Então as forças nas suas formas vetoriais são:

F 1 → = 2 cos ⁡ 45 ° i + 2 cos ⁡ 60 ° j + 2 cos ⁡ 120 ° k

= 1 , 414 i + 1 j - 1 k

F 2 → = 0,75 - 1,5 i + 3 j + 3 k 2,25 + 9 + 9

= 0 , 75 - 1,5 i + 3 j + 3 k 20,25

= 0 , 75 - 1,5 i + 3 j + 3 k 4,5 = - 0,249 i + 0 , 5 j + 0,5 k

F 3 → = 0 i - 0 , 5 j + 0 k

P → = P x i + P y j + P z k

Passo 3

Vamos abrir a equação de equilíbrio então:

∑ F → = 0

P x i + P y j + P z k + 1 , 4 14 i + 1 j - 1 k + - 0,249 i + 0,5 j + 0,5 k +

+ 0 i - 0,5 j + 0 k = 0

⇒ P x + 1 , 4 14 - 0,249 i + P y + 1 + 0 , 5 - 0,5 j + P z - 1 + 0,5   k = 0

Então temos que:

P x + 1 , 4 14 - 0,249 = 0

P y + 1 + 0,5 - 0,5 = 0

P z - 1 + 0,5   = 0

Passo 4

Então temos as seguintes equações das quais poderemos achar as componentes de P , então:

P x + 1 , 414 - 0,249 = 0

⇒ P x = - 1,165   k N

P y + 1 + 0,5 - 0,5 = 0

⇒ P y = - 1   k N

P z - 1 + 0,5   = 0

⇒ P z = 0,5   k N

Passo 5

Agora que temos as componentes de P , temos o seguinte:

P → = - 1,165 i - 1 j + 0,5 k

Agora para achar sua intensidade, basta calcular sua norma, então:

P → = 1,165 2 + 1 2 + 0,5 2

= 1 , 357 + 1 + 0,25

= 2,607 = 1,614   k N

Passo 6

Então temos que achar agora a direção de F 1 e faremos isso pelo que foi falado no passo 1 , então:

u → = P   | P → | = P x P + P y P + P z P

= - 1,165 1,614   + - 1 1,614   + 0,5 1,614  

Temos que:

cos ⁡ α = - 1,165 1,614  

⇒ α = 136,20 °

cos ⁡ β = - 1 1,614  

⇒ β = 128,28 °

cos ⁡ γ = 0,5 1,614  

⇒ γ = 7 1 , 95 °

Resposta

P = 1,614   k N

α = 136,20 °

β = 128,28 °

γ = 71,95 °

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