Enunciado

41. Determine a intensidade e o sentido de F 1 → necessários para manter o sistema de força concorrente em equilíbrio.

Passo 1

Para que o sistema de força esteja em equilíbrio é necessário que as força resultante seja zero. Logo:

∑ F → = 0

Então a soma de todas as forças na forma vetorial tem que ser zero.

Então teremos que passar as forças para forma vetorial. As forças F 2 e F 5 , não iremos precisar fazer isso já que elas têm a mesma direção de um dos eixos coordenados, logo a forma vetorial delas é imediato.

Para transforma a força F 3 , basta multiplicá-la pelo vetor unitário que tem a mesma direção da força, e podemos obtê-lo pelo vetor dado na figura.

A força F 4 é o mesmo procedimento da força F 3 , só que como temos o ângulo que ela faz com eixo y , o vetor unitário é dado por:

0 i + cos ⁡ 30 ° j + sin ⁡ 30 °

Aí para realizarmos o último pedido do enunciado, nós construirmos um vetor unitário na mesma direção dessa força F 1 da seguinte maneira:

u → = F → | F → | = F i F + F j F + F k F

E depois temos que cada componente representa o cosseno do ângulo diretor referente a direção da componente.

Passo 2

Então as forças nas suas formas vetoriais são:

F 1 → = F 1 x i + F 1 y j + F 1 z k

F 2 → = 0 i - 500 j + 0 k

F 3 → = 400 - 2 i - 6 j + 3 k 4 + 36 + 9

= 400 - 2 i - 6 j + 3 k 49

= 400 - 2 i - 6 j + 3 k 7 = - 114,28 i - 342,85 j + 171,42 k

F 4 → = 300 0 i + cos ⁡ 30 ° j + sin ⁡ 30 °

= 0 i + 259,8 j + 150 k

F 5 → = 0 i + 0 j - 450 k

Passo 3

Vamos abrir a equação de equilíbrio então:

∑ F → = 0

F 1 x i + F 1 y j + F 1 z k + 0 i - 500 j + 0 k + - 114,28 i - 342,85 j + 171,42 k +

+ 0 i + 259,8 j + 150 k + 0 i + 0 j - 450 k = 0

⇒ F 1 x - 114,28 i + F 1 y - 500 - 342,85 + 259,8 j + F 1 z + 171,42 + 150 - 450   k = 0

Então temos que:

F 1 x - 114,28 = 0

F 1 y - 500 - 342,85 + 259,8 = 0

F 1 z + 171,42 + 150 - 450 = 0

Passo 4

Então temos as seguintes equações das quais poderemos achar as componentes de F 1 , então:

F 1 x - 114,28 = 0

⇒ F 1 x = 114,28

F 1 y - 500 - 342,85 + 259,8 = 0

⇒ F 1 y - 583,05 = 0

⇒ F 1 y = 583,05

F 1 z + 171,42 + 150 - 450 = 0

⇒ F 1 z - 128,58 = 0

⇒ F 1 z = 128,58

Passo 5

Agora que temos as componentes de F 1 , temos o seguinte:

F 1 → = 114,28 i + 583,05 j + 128,58 k

Agora para achar sua intensidade, basta calcular sua norma, então:

F 1 → = 114,28 2 + 583,05 2 + 128,58 2

= 13059,91 + 33994 7,3 + 16532,81

= 369540,02 = 607,89   N

Passo 6

Então temos que achar agora a direção de F 1 e faremos isso pelo que foi falado no passo 1 , então:

u → = F → 1   | F 1 → | = F 1 x F 1 + F 1 y F 1 + F 1 z F 1

= 114,28 607,89   + 583,05 607,89   + 128,58 607,89  

Temos que:

cos ⁡ α = 114,28 607,89  

⇒ α = 79,16 °

cos ⁡ β = 583,05 607,89  

⇒ β = 16 , 43 °

cos ⁡ γ = 128,58 607,89  

⇒ γ = 77,78 °

Resposta

F 1 = 607,89   N

α = 79,16 °

β = 16,43 °

γ = 77,78 °

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