Enunciado

Determine as intensidades de F → 1 e F → 2 e a direção e sentido de F → 1 de forma que as cargas da figura produzam uma força e um momento resultante nulos sobre a roda.

Passo 1

Vamos começar pensando no equilíbrio das quatro forças que agem sobre a roda:

∑ F → = F → 1 + F → 2 + F → 3 + F → 4 = 0

Vamos começar escrevendo F → 3 e F → 4 , que são forças conhecidas:

F → 3 = 60   i ^   l b

F → 4 = 30 - cos ⁡ 45 ° i ^ - sen ⁡ 45 ° = - 21 , 2   i ^ - 21 , 2   j ^   l b

E para as forças F → 1 e F → 2 temos que incluir algumas variáveis desconhecidas:

F → 2 = F 2   i ^

F → 1 = F 1 - cos ⁡ θ i ^ + sen ⁡ θ j ^

Agora podemos substituir tudo isso na primeira equação:

∑ F → = F 1 - cos ⁡ θ i ^ + sen ⁡ θ j ^ + F 2   i ^ + - 21 , 2   i ^ - 21 , 2   j ^ + 60   i ^ = 0

Para que o vetor resultante seja nulo, todas as componentes precisam se anular, então podemos escrever duas equações a partir daqui:

- F 1 cos ⁡ θ + F 2 = - 38,8 F 1 sen ⁡ θ = 21,2

Por enquanto temos três variáveis ( F 1 , F 2 e θ ), mas apenas duas equações.

Passo 2

Para encontrar nossa terceira equação, vamos considerar o equilíbrio dos momentos:

∑ M O = 0

Onde estamos calculando os momentos em relação ao ponto O .

A força de 60   l b s tem momento nulo, porque sua distância perpendicular até o ponto O é nula.

A força de 30   l b s e F → 2 são tangentes à superfície da roda, então para calcular os seus momentos só precisamos multiplicar seu módulos pelo raio:

M 2 = - F 2 0,75

M 4 = - 30 0,75 = - 22,5   l b ∙ p é s

Ambos com sinal negativo porque favorecem o sentido horário.

Temos também um binário de módulo M 5 = 80   l b ∙ p é s no sentido anti-horário. Então por enquanto ficamos com:

∑ M = M 1 - 0,75 F 2 - 22,5 + 80

Passo 3

E, finalmente, a força F → 1 não é exatamente tangente à superfície, por isso a expressão para o seu momento é um pouco mais complicada.

Primeiro decompomos a força F → 1 em duas outras, com módulos F 1 sen ⁡ θ e F 1 cos ⁡ θ :

E para calcular o momento de cada uma dessas duas forças em vermelho, só precisamos das suas componentes na direção tangente à roda:

Então:

M 1 = - F 1 sen ⁡ θ sen ⁡ 60 ° 0,75 - F 1 cos ⁡ θ sen ⁡ 30 ° 0,75

M 1 = - 0,75   F 1 sen ⁡ θ sen ⁡ 60 ° + cos ⁡ θ sen ⁡ 30 °

Então nossa equação de equilíbrio dos momentos fica da seguinte forma:

∑ M = M 1 - 0,75 F 2 - 22,5 + 80 = 0

∑ M = - 0,75   F 1 sen ⁡ θ sen ⁡ 60 ° + cos ⁡ θ sen ⁡ 30 ° - 0,75 F 2 - 22,5 + 80 = 0

Vamos simplificar um pouco:

- 0,65 F 1 sen ⁡ θ - 0,375 F 1 cos ⁡ θ - 0,75   F 2 + 57,5 = 0

Passo 4

Beleza, agora temos a equaçlão que faltava para completar o sistema:

- F 1 cos ⁡ θ + F 2 = - 38,8 F 1 sen ⁡ θ = 21,2 - 0,65 F 1 sen ⁡ θ - 0,375 F 1 cos ⁡ θ - 0,75   F 2 + 57,5 = 0

Vamos multiplicar a primeira equação por - 0,375 , e a segunda por 0,65 , e então somar tudo:

0,375   F 1 cos ⁡ θ - 0,375   F 2 = 14,55 0,65   F 1 sen ⁡ θ = 13,78 - 0,65 F 1 sen ⁡ θ - 0,375 F 1 cos ⁡ θ - 0,75   F 2 + 57,5 = 0

- 0,375   F 2 - 0,75   F 2 + 57,5 = 14,55 + 13,78

- 1,125   F 2 = - 29,17

F 2 = 26,0   l b

Vamos substituir esse resultado no sistema original:

- F 1 cos ⁡ θ = - 64,8 F 1 sen ⁡ θ = 21,2 - 0,65 F 1 sen ⁡ θ - 0,375 F 1 cos ⁡ θ = - 38,0

Agora vamos dividir a segunda equação pela primeira:

- F 1 sen ⁡ θ F 1 cos ⁡ θ = - 21,2 64,8

θ = arctan ⁡ 21,2 64,8 = 18,1 °

E agora vamos substituir isso em uma das duas primeira equações:

F 1 sen ⁡ 18,1 ° = 21,2

F 1 = 68,2   l b

Resposta

As intensidades das forças devem ser F 1 = 68,2   l b e F 2 = 26,0   l b . A força forma um ângulo θ = 18,1 ° com o semi-eixo negativo, no sentido horário.

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