Enunciado

70. Determine as intensidades das forças F 1 ,   F 2 e F 3 necessárias para manter a força F = { - 9 i - 8 j - 5 k } em equilíbrio.

Passo 1

Vamos lá, para resolver esse problema, temos que considerar o sistema em equilíbrio, logo:

∑ F x = 0

∑ F y = 0

∑ F z = 0

Então para isso teremos que decompor as forças em suas componentes. Para decompor F 1 e F 2 é mais fácil já que temos os ângulos que elas fazem com os eixos coordenados, a força F já foi dada pelo enunciado de forma a saber suas componentes de cara. Agora a força F 3 teremos que achar um vetor unitário com a mesma direção que ela e multiplicá-lo pela intensidade da força para acharmos a força na forma vetorial, aí depois fica de boa.

O vetor unitário pode ser encontrado da seguinte maneira:

u = r → r →

Onde esse vetor r → precisa ter mesma direção que a nossa força e ele se torna fácil de encontrar, pois a figura fornecida pelo enunciado mostra que F 3 aponta na direção do ponto ( 4 ,     4 ,   - 2 ) , então um vetor da origem até esse pondo é dado por:

4 i + 4 j - 2 k

Logo:

u = 4 i + 4 j - 2 k 16 + 16 + 4

= 4 i + 4 j - 2 k 36

= 0,667 i + 0,667 j - 0,333 k

Então F 3 na forma vetorial é dada por:

F 3 → = F 3 0,667 i + 0,667 j - 0,333 k

Passo 2

Vamos abrir as equações então.

∑ F x = 0

F 1 cos ⁡ 60 ° cos ⁡ 30 ° + F 2 cos ⁡ 135 ° + 0,667 F 3 - 9 = 0

⇒ 0,433 F 1 - 0,707 F 2 + 0,667 F 3 = 9

∑ F y = 0

- F 1 cos ⁡ 60 ° sin ⁡ 30 ° + F 2 cos ⁡ 60 ° + 0,667 F 3 - 8 = 0

⇒ - 0,25 F 1 + 0,5 F 2 + 0,667 F 3 = 8

∑ F z = 0

F 1 sin ⁡ 60 ° + F 2 cos ⁡ 60 ° - 0,333 F 3 - 5 = 0

⇒ 0,866 F 1 + 0,5 F 2 - 0,333 F 3 = 5

Obtemos então as seguintes equações:

0,433 F 1 - 0,707 F 2 + 0,667 F 3 = 9

- 0,25 F 1 + 0,5 F 2 + 0,667 F 3 = 8

0,866 F 1 + 0,5 F 2 - 0,333 F 3 = 5

Passo 3

Agora temos que resolver o sistema de equações que achamos no passo 2 , que é:

0,433 F 1 - 0,707 F 2 + 0,667 F 3 = 9

- 0,25 F 1 + 0,5 F 2 + 0,667 F 3 = 8

0,866 F 1 + 0,5 F 2 - 0,333 F 3 = 5

Vamos fazer o seguinte, vamos isolar F 1 na primeira equação, substituir na segunda, tendo feito isso vamos isolar F 2 na segunda equação e substituir o que encontramos na terceira equação, para aí sim conseguirmos encontrar F 3 . Vamos então.

F 1 = 20.785 + 1,632 F 2 - 1,54 F 3

⇒ - 0,25 ( 20.785 + 1,632 F 2 - 1,54 F 3 ) + 0,5 F 2 + 0,667 F 3 = 8

⇒ - 5,196 - 0,408 F 2 + 0,385 F 3 + 0,5 F 2 + 0,667 F 3 = 8

⇒ 0,092 F 2 + 1,052 F 3 = 13,196

⇒ F 2 = 143,434 - 11,434 F 3

Substituindo o que encontramos na terceira equação, temos:

0,866 20.785 + 1,632 143,434 - 11,434 F 3 - 1,54 F 3 + 0,5 143,434 - 11,434 F 3 -

- 0,333 F 3 = 5

⇒ 0,866 20,785 + 234,084 - 18,66 F 3 - 1,54 F 3 + 71,717 - 5,717 F 3 - 0,333 F 3 = 5

⇒ 17,999 + 202,716 - 16,159 F 3 - 1,333 F 3 - 6,05 F 3 = - 66,717

⇒ - 23,542 F 3 = - 287,432

⇒ F 3 = 12,21   k N

Passo 4

Tendo F 3 , podemos achar F 1 e F 2 com muito menos trabalho, através das seguintes equações que achamos no passo 3 .

F 1 = 20.785 + 1,632 F 2 - 1,54 F 3

F 2 = 143,434 - 11,434 F 3

Vamos substituir primeiro o valor de F 3 na segunda equação para achar F 2 e depois substituímos F 2 e F 3 na primeira equação.

F 2 = 143,434 - 11,434 12,21  

= 143,434 - 139,609

= 3 , 83   k N

F 1 = 20.785 + 1,632 ( 3 , 83 ) - 1,54 ( 12,21 )

= 20,785 + 6,250 - 18,803

= 8,23   k N

Resposta

F 1 = 8,23   k N

F 2 = 3,83   k N

F 3 = 12,21   k N

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